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Mis à jour le 06/01/2020

Exploitez les arbres de défaillances

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Algèbre de Boole

Afin de traiter les opérations à deux valeurs du calcul, nous introduisons l’algèbre de Boole. L’algèbre de Boole ou calcul booléen s’intéresse aux calculs logiques. Il s’agit de variables, d’opérateurs et de fonctions sur les variables logiques.

L’opérateur d’addition correspond à l’opération logique OU.

Il est commutatif et associatif :

A+B=B+A (commutativité)

 A+(B+C)=(A+B)+C (associativité)

L’opération entre variables identiques garde toujours la même valeur :

 A+A=A

Quelle que soit la valeur de la variable A , l’addition entre A et 0 donne A et l’addition entre 1 et A donne 1.

0+A=A

1+A=1

L’opérateur de multiplication correspond à l’opération logique ET ;

Il est commutatif et associatif :

 A.B=B.A (commutativité)

 A.(B.C)=(A.B).C (associativité)

L’opération entre variables identiques garde toujours la même valeur :

A.A=A

Quelle que soit la valeur de la variable A , la multiplication entre A et 0 donne A et la multiplication entre 1 et A donne A .

0.A=0
1.A=A

L’opérateur de négation donne le complément d’une valeur logique, donc l’négation de 0 est 1 et celle de 1 est 0.

ˉ1=0
ˉ0=1

L’addition et la multiplication entre une variable et son complément donne toujours respectivement 1 et 0.

A.ˉA=0
A+ˉA=1

Le complément du complément d’une valeur est égal à cette valeur logique.

ˉˉA=A

Les trois opérateurs de Boole ont aussi d’autres propriétés :

  • Distributivité

    A.(B+C)=A.B+A.C
    A+B.C=(A+B).(A+C)
  • Absorption

    A.(A+B)=A
    A+A.B=A

Et voici la table de vérité correspondant à toutes les combinaisons possibles des opérations entre deux valeurs logiques présentées précédemment.

 A

 B

 A+B

 A.B

  ˉA 

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

-

1

1

1

1

-

Système à structure complexe

Dans le cas contraire, il sera appelé système à structure complexe. La fonction de structure d’un système élémentaire est obtenue directement en utilisant les fonctions de structures données dans le paragraphe suivant. Par contre, nous avons besoin des notions de coupe minimale ou de chemin minimal.

Nous appelons les systèmes qui ne sont pas à structure élémentaire, par exemple un système pont, des systèmes à structure complexe. Dans ce cas-là, au contraire des systèmes à structure élémentaire, nous avons besoin des notions de coupe minimale ou de chemin minimal afin d’exprimer les conditions de défaillance et de bon fonctionnement, ainsi que les probabilités concernant la fiabilité, la disponibilité, etc.

Chemin : sous-ensemble de composants dont le bon fonctionnement simultané assure le bon fonctionnement du système, et cela indépendamment des états des autres composants.

Chemin minimal : chemin qui ne contient pas d’autre chemin.

Le système peut être considéré comme un système série-parallèle dont chaque branche série est

φ(x)=1cj=1(1iCjxi)

Coupe : sous-ensemble de composants dont la défaillance simultanée conduit à la défaillance du système, et cela indépendamment des états des autres composants.

Coupe minimale : coupe qui ne contient pas d’autre coupe.

φ(x)=kj=1[1iKj(1xi)]

Dans un arbre de défaillance, une coupe est une combinaison d'événements de base entraînant l'événement indésirable. Une coupe minimale est une des plus petites combinaisons d'événements de base entraînant l'événement indésirable (obtenue après réduction booléenne).

Exemple

Dans notre exemple, l'événement racine T est vrai si l’expression (A+BC).(AD+BC) donne VRAI.

T=(A+BC).(AD+BC)

En utilisant l’algèbre booléen, cette expression peut être décomposée en quatre coupes  AD , ABC , ABCD et BC . Les coupes sont sous forme de produit d’événements de base et liées par addition (porte logique OU).

T=AD+ABC+ABCD+BC

Ici AD , ABC , ABCD , BC sont les coupes de cette équation.

Ensuite, les coupes sont regroupées et simplifiées en utilisant l’algèbre booléen

T=AD+ABC+ABCD+BC
T=AD+BC(A+AD+1)
T=AD+BC

Finalement on trouve qu’ AD et BC sont des coupes minimales d'ordre 2 de cet arbre de défaillance.

Calcul de l’événement au sommet

Considérons un arbre de défaillance ayant les coupes minimales C1,...,CN ;  la probabilité de l’événement au sommet s’écrit comme

P(T)=P(C1...CN)

où  P(Ci)=P(kCiEk)   avec  signifiant l’événement basique Ek  est vrai.

En utilisant le développement de Poincaré, nous avons

P(T)=P(C1...CN)
=Ni=1P(Ci)Ni=1ijP(CiCj)+...+(1)N1P(C1...CN)

Exemple

Considérons les éléments de base A, B, C, D indépendants ;  dans l’exemple précédent, nous avons

P(T)=P(AD+BC)=P(A)P(D)+P(B)P(C)

En résumé de la partie 4

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite