L’histoire des nombres, de leur représentation et du calcul se confond avec l’histoire de l’écriture. Différentes civilisations ont imaginé de nombreuses variantes de représentation des nombres. Il n’est pas question d’en faire ici l’étude exhaustive. Nous nous contentons de quelques faits marquants.
Égypte
L’Égypte ancienne a été une civilisation qui a introduit de très nombreux progrès techniques et scientifiques. Le système de représentation des nombres y est décimal.
Pourquoi décimal ? Sans doute parce que l’être humain a dix doigts sur lesquels il peut matérialiser les opérations mathématiques fondamentales que sont l’addition et la soustraction. Dans le système égyptien antique, les unités, dizaines, centaines, milliers, etc., sont représentés par des hiéroglyphes spécifiques.
Vous voyez en figure ci-dessus, en bas de l'image, la représentation de 46 206 et vous distinguez de gauche à droite, les 6 unités, les 2 centaines, les 6 milliers et enfin, les 4 dizaines de milliers. Dans ce système, 0 n’existe pas et le nombre est intelligible parce qu’on consacre un symbole pour chaque puissance entière de 10.
Le papyrus Rhind, du nom de son acquéreur, sur la figure ci-dessus, est daté du 16e siècle avant notre ère. Il fait une synthèse, en écriture hiératique, assez complète de ce que les Égyptiens maîtrisaient en termes de mathématiques. Il contient 87 problèmes résolus d’arithmétique, d’algèbre, de géométrie et d’arpentage, dans un rouleau de 14 feuilles assemblées, sur plus de 5 mètres de longueur et 32 cm de large.
Babylone
L’écriture apparaît à Sumer en Mésopotamie (qui signifie entre les deux fleuves, le Tigre et l’Euphrate). Les Sumériens inventent l’enveloppe bulle dans laquelle des cailloux figurent l’effectif d’un cheptel pour garantir les transactions commerciales. Le mot « calcul » vient du latin d’un mot qui signifie « cailloux », et la méthode des Sumériens est certainement une des premières tentatives réussies, dans l’histoire des mathématiques, d’une représentation concrète des nombres.
À Sumer et dans les civilisations qui se succèdent dans cette région du globe, le système n’est pas décimal mais sexagésimal, de base 60. On ne sait pas trop pourquoi la base 60. Cela a sans doute un rapport avec le fait que 60 soit multiple de 12. Or, en ces temps, l’année est cadencée par 12 mois lunaires de 30 jours. 60 est aussi multiple d’un grand nombre d’entiers : 2, 3, 4 , 5, 6, 10, 12. Il subsiste dans notre civilisation du 21e siècle des héritages. Ainsi, nos heures font 60 minutes, qui font chacune 60 secondes.
Puis en Mésopotamie aussi, le système décimal se développe et finit par s’imposer. Il hérite de l’écriture cunéiforme (en forme de coin) et là aussi, pas de 0, et des symboles différents figurent les différentes puissances entières de 10, unités, dizaines, centaines, etc., comme le suggère la table ci-dessous :
La petite tablette cunéiforme de la photo ci-dessus (6 cm x 4,5 cm), datée de la période néo-babylonienne, est un document comptable de location d’un navire. Elle est conservée au Spurlock Museum of World Cultures (Illinois, E-U).
Inde
Si le 0 est connu dans différents systèmes de représentation des nombres, le progrès décisif est introduit dans le sous-continent indien. L’idée géniale, toujours en vigueur, n’est pas tant le nombre 0, mais plutôt le 0 positionnel. Dans un système de numération où le nombre est représenté comme somme pondérée des puissances de 10, il importe de noter quand une des puissances entières n’est pas dans le nombre, et cela se note avec le symbole 0 dans la colonne de la puissance entière considérée.
Ainsi, on peut utiliser le même jeu de 10 symboles (les chiffres arabes de 0 à 9) pour représenter le poids de toutes les puissances entières de 10. Le fait de mettre explicitement un poids à 0, à la bonne position, lève l’ambiguïté qui obligeait dans les systèmes égyptiens et babyloniens à utiliser des symboles différents selon qu’on avait affaire aux unités, aux dizaines, aux centaines, etc.
Le manuscrit de Bakhshali (photo ci-dessous) est un recueil de textes mathématiques découvert au Pakistan, en 1881. Il est écrit sur de l’écorce de bouleau. C’est le plus ancien texte qui montre l’utilisation du 0 positionnel. Il est conservé à la bibliothèque bodléienne à Oxford. La datation au carbone 14 a montré qu’il a été rédigé sur trois époques, dont la plus ancienne remonte au 3e siècle de notre ère.
La photo ci-dessous montre l'équivalence des chiffres indiens avec nos chiffres arabes, en vigueur aujourd'hui.
Arabie
Les mathématiques arabes se sont constituées initialement par assimilation des mathématiques grecques, indiennes voire chinoises et babyloniennes, avant de connaître leur développement propre. C’est principalement par les traductions arabes et leurs commentaires que l’Europe prit connaissance des mathématiciens grecs, à partie de l’an 1000. Les grands mathématiciens de la civilisation arabo-musulmane ont développé beaucoup d’idées originales.
Notre mot « algorithme », dont l’importance ne cesse de croître en ces temps de civilisation numérique, dérive de algorithmus, version latinisée du nom propre Al-Khwarizmi, rédacteur entre les années 813 et 830, du traité Kitab al-jabr wa al-muqabala qui inspirera le mot « algèbre ». La civilisation arabo-musulmane développe et répand le zéro positionnel, au point que le mot « chiffre » vient de l’arabe sifr qui signifie zéro.
La photo ci-dessus représente des tables d’astronomie des manuscrits de Tombouctou, des manuscrits datant pour la plupart des 17e, 18e et 19e siècles, qui sont des copies d’ouvrages plus anciens connus dans le monde arabo-musulman, et de productions locales originales.
La photo ci-dessous représente des manuscrits de la riche collection de manuscrits de la médiathèque d'Oman.
Nombres décimaux
Comme nous sommes tous bien familiers du système décimal que nous utilisons au quotidien, il n’est pas nécessaire de trop s’y attarder et nous pouvons nous contenter d’exemples. Nous allons juste insister sur ce qui fait sa puissance, c’est–à-dire la relative simplicité des calculs lorsque nous manipulons des nombres dans les opérations arithmétiques de base.
Le premier nombre est représenté dans le tableau dans lequel nous avons mis en évidence les puissances entières positives de 10. Le nombre est 268 037, avec un 0 positionnel pour indiquer qu’il n’y a pas de centaine, ou plutôt qu’il y a 0 centaine. Conventionnellement, les poids de chaque puissance entière, appelés les digits, sont écrits de droite à gauche, le poids de la puissance 0 de 10, le digit le moins significatif étant à droite. Avec le 0 positionnel, il n’y a pas d’ambiguïté sur la signification des digits qui sont listés de droite à gauche, de la puissance entière la plus faible à la plus élevée. Il n’y pas de limite théorique à la capacité de représenter de grands nombres, il suffit d’ajouter des digits à gauche.
100 000 | 10 000 | 1 000 | 100 | 10 | 1 |
105 | 104 | 103 | 102 | 101 | 100 |
2 | 6 | 8 | 0 | 3 | 7 |
268037=2.105+6.104+8.103+0.102+3.101+7.100
Pour les nombres décimaux, il faut ajouter des digits qui représentent les poids des puissances entières négatives de 10. Dans l’exemple que vous avez sous les yeux, le nombre vaut 841,59. Il faut évidemment un marqueur qui indique où est l’unité, la puissance nulle de la base 10. Comme pour les grands nombres, si on veut ajouter des décimales, il suffit d’ajouter des digits qui représentent les poids de puissances entières négatives de 10, c'est à dire, 10−1, 10−2, 10−3, et ainsi de suite sans limite théorique.
102 | 101 | 100 | 10−1 | 10−2 |
8 | 4 | 1 | 5 | 9 |
Vous constatez que sommer deux nombres n’est jamais que la répétition, étage par étage, de la même procédure. Et vous pouvez traiter des nombres aussi grands que vous voulez. Voilà le génie du système décimal. Il réside dans sa simplicité et sa puissance quasi-infinie.
Machines à calculer
Compter sur ses 10 doigts est vite limité pour la manipulation des grands nombres. Par ailleurs, la multiplication est une opération plus complexe que l’addition, qui nécessite des outils spécifiques. L’être humain a donc inventé un certain nombre de dispositifs d’aide aux calculs, qui sont mus par la force musculaire :
les bouliers, dont il existe des variantes en Chine, au Japon ou en Russie, permettent la manipulation des grands nombres ;
les bâtons de Neper permettent de faire des multiplications grâce à un codage astucieux des tables de Pythagore. Neper est celui-là même qui inventa la fonction logarithme. Il le fit dans le cadre de travaux d’arithmétique. En effet, Neper cherchait une fonction telle que f(a.b)=f(a)+f(b), précisément pour transformer un produit en addition, jugée plus simple et plus accessible.
les règles à calcul sont des dispositifs mécaniques qui simplifient les multiplications.
Il faudra attendre le 17e siècle pour voir apparaître des machines à calculer mécaniques qui permettent d’entrevoir la possibilité d’accélérer le traitement dans des proportions importantes. Sans pour autant faire une liste exhaustive, voici quelques éléments marquants de l'histoire moderne.
Les pascalines
Blaise Pascal fut l’un des premiers à y parvenir. Aujourd’hui, on possède encore des exemplaires d’époque de ses fameuses pascalines. La machine initiale de Pascal est composée de 6 roues solidaires par un système de pignons et d'engrenages. Elle est capable de réaliser des additions et des soustractions, et est considérée comme le premier processeur d’information. Sa principale caractéristique réside dans le report automatique des retenues, obtenu par une série de roues dentées numérotées de 0 à 9, et reliées de telle manière que la rotation complète de l'une d'elles fasse avancer la suivante d'un cran à l’aide d’un sautoir.
La photographie ci-dessous représente une pascaline originale, la machine de la reine Christine de Suède.
La machine de Leibniz
Gottfried Leibniz admirait Pascal et travailla à améliorer l’invention de son illustre prédécesseur. Entre autres perfectionnements, il rend la machine capable de multiplications par additions successives, et de divisions par soustractions successives. Sa machine appelée "calculatrice à étages" pouvait aussi extraire les racines carrées.
C’est la première tentative, dans l’histoire de l’humanité, capable d’effectuer toutes les opérations arithmétiques élémentaires par des moyens purement mécaniques. Hélas, sa machine ne fut jamais commercialisée et fut uniquement produite en deux exemplaires. En fait, la machine de Leibniz n’a jamais fonctionné de façon fiable. Ses mécanismes étaient trop complexes par rapport aux savoir-faire de l’époque, la mécanique horlogère n’ayant pas atteint alors la précision requise au montage de la calculatrice à étages.
Toutefois, Leibniz a introduit des innovations techniques importantes, et sa contribution est énorme parce qu’elle a posé les bases de toute une lignée d’inventions qui se sont prolongées jusqu’au début du 20e siècle.
La photo ci-dessous représente une réplique moderne de la machine de Leibniz.
La machine analytique de Babbage
La contribution décisive suivante a été apportée par Charles Babbage avec sa machine dite différentielle ou analytique. Babbage voulait ajouter aux fonctionnalités des machines de Pascal et de Leibniz les fonctions logiques. Sa machine était donc censée prendre des décisions en fonction des résultats produits.
Vous sentez probablement, au moins intuitivement, le rapport avec les capacités de nos ordinateurs modernes. Babbage utilisa pour ce faire la technique des cartes perforées, largement utilisée dans les métiers à tisser pour introduire les données. Il n’est pas absurde de considérer la machine différentielle de Babbage comme un proto-ordinateur. Hélas, faute d’argent, Babbage n’a pas réussi à réaliser une machine qui incorporait les fonctionnalités qu’il avait imaginées... Mais, entre :
Pascal et Leibniz qui ont inventé la mécanisation des opérations arithmétiques élémentaires ;
Vaucanson qui a inventé l’utilisation des cartes perforées pour piloter la mécanisation des métiers à tisser ;
Babbage qui l'a étendue au calcul ;
et enfin Boole que nous rencontrerons par la suite, qui a fondé l’algèbre qui porte son nom,
nous avons là les précurseurs du Digital Electronics !
La photo ci-dessous représente une reconstitution moderne de la machine analytique de Babbage.
L'ENIAC
Les machines entrent dans l’ère électronique dans les années 20 et 30 du vingtième siècle. Une des réalisations importantes est l’ENIAC (photo ci-dessous) pour Electronic Numerator Integrator Analyser and Computer. Il a été développé dans le cadre de la recherche balistique, dans le contexte de la Seconde Guerre mondiale. En effet, les calculs balistiques sont gros consommateurs de calculs. Il s’agissait d’accélérer le calcul des tables de tir, pour lesquelles il était nécessaire de calculer 2 000 à 4 000 trajectoires. Chacune de ces trajectoires nécessitait environ 700 multiplications.
Toutefois, la machine était vraiment conçue dans un contexte particulier : elle ne peut pas vraiment être qualifiée d’ordinateur, mais plutôt d’une réalisation électronique d’une machine à calculer câblée en dur pour ses objectifs. À noter qu’elle travaillait en base 10 et non pas en binaire.
L'EDVAC
L’acte de naissance de l’ordinateur moderne est sans doute EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer). Dans la lignée des travaux qui ont conduit à ENIAC, John Von Neumann, un grand mathématicien, pose les bases de l’architecture qui porte son nom, toujours en vigueur aujourd'hui. EDVAC est une machine universelle capable de traiter n’importe quelle information, et d’exécuter tout ce que l’esprit logique humain peut imaginer.
La photo ci-dessous représente John Von Neumann posant devant sa "créature".
Turing et ses "bombes"
Ce panorama est bien sûr beaucoup trop rapide et laisse dans l’ombre de nombreux contributeurs qui ont apporté leur pierre à l’édifice. Il est toutefois difficile de conclure sans citer Alan Turing qui a théorisé, avec d’autres, cette science naissante et contribué à réaliser ses fameuses « bombes », à Bletchley Park. Ces machines , certes électromécaniques, ont permis de casser les codes d’Enigma, la machine de cryptage des nazis pendant la Seconde Guerre mondiale.
L’informatique moderne, à peine née, modifie positivement le cours de l’histoire de l’humanité. Le développement de notre civilisation numérique continue de croître sans décélérer. N’oublions pas les enjeux éthiques, pour que la science et la technique ne deviennent pas une menace...
Les deux photos qui suivent représentent une reconstitution de la "bombe de Turing" et un portrait de son génial inventeur.
En résumé
Nous voilà introduits au monde des systèmes numériques. Dans la seconde partie, nous allons entrer encore davantage dans l'intimité d'un système numérique et découvrir comment il manipule des nombres quelconques, et de façon générale, une information quelconque.
