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Mis à jour le 01/10/2019

Découvrez les portes à plusieurs entrées

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Portes AND, NAND, OR et NOR à trois entrées

Porte AND à trois entrées

Nous commençons par la porte ou fonction AND à trois entrées. La première approche, assez intuitive, consiste à définir cette porte par le langage naturel. La sortie $\(s\)$ vaut 1 lorsque toutes les entrées $\(a\)$ , $\(b\)$  et $\(c\)$ sont à 1. On constate, avec cette définition en langue naturelle, que la sortie est à 1 uniquement pour la dernière combinaison des entrées, c’est-à-dire quand $\(a\)$ est à 1 ET $\(b\)$ est à 1 ET $\(c\)$ est à 1, ce qui justifie pleinement le nom ET de cette porte élémentaire.

a

b

c

$\(s=a.b.c\)$

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Bien que la table de vérité de la porte ET à trois entrées soit correctement décrite par la langue naturelle, il est intellectuellement plus rigoureux et, en fait, même indispensable de baser la définition sur une construction mathématique. On utilise, pour ce faire, la propriété d’associativité pour étendre la définition de la porte à deux entrées :

$\(s=a.b.c=(a.b).c=a.(b.c)\)$

Comme la porte ET à deux entrées est définie sans ambiguïté, le résultat $\((a.b)\)$ est calculable comme sortie intermédiaire. Il reste ensuite à faire le ET à deux entrées entre cette variable intermédiaire et la troisième entrée $\(c\)$.

a

b

c

$\(a.b\)$

$\((a.b).c\)$

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On constate que le résultat final répond bien à la définition en langue naturelle : la sortie est à 1 si toutes les entrées sont à 1. On entrevoit peut-être à ce stade une généralisation à $\(n\)$ entrées basée sur une définition par récurrence, classique en mathématiques.

Porte NAND à trois entrées

La fonction NON-ET ou NAND à 3 entrées ne réclame pas vraiment de concept nouveau. On peut l’exprimer, comme pour 2 entrées, par la combinaison d’un ET sur les entrées, suivi de la complémentation ou l'inversion sur le résultat du ET. On peut ainsi l’exprimer très simplement sous forme d’équation logique $\(s=\overline {a.b.c}\)$. La table de vérité est immédiate, obtenue par complémentation de la fonction ET à 3 entrées de l’écran précédent. On constate que la sortie est à 0 lorsque toutes les entrées sont à 1.

a

b

c

$\(a.b.c\)$

$\(\overline {a.b.c}\)$

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0

Porte OR à trois entrées

Nous passons à présent à la porte OU à 3 entrées que nous commençons, comme pour la porte ET,  à définir en langue naturelle. La sortie est à 1 si une entrée au moins est à 1. La table de vérité est immédiate : la sortie est à 0 uniquement pour la toute première combinaison des entrées. La sortie est à 1 pour toutes les autres combinaisons.

a

b

c

$\(a+b+c\)$

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Comme pour la porte ET, nous voulons à présent définir plus rigoureusement la porte OU à 3 entrées par la construction mathématique. Nous utilisons, comme tout à l’heure, la propriété d’associativité pour étendre la porte OU à 2 entrées.

Ainsi, nous écrivons : $\(s=a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)\)$ 

Déterminons la table de vérité correspondante. Nous élaborons tout d’abord le résultat intermédiaire (a+b) qui est défini sans ambiguïté puisqu’il s’agit d’un OU à deux entrées, puis nous faisons avec ce résultat intermédiaire un nouveau OU à deux entrées avec l’entrée c, et nous obtenons le résultat final.

Exercice : nous vous recommandons de faire cet exercice comme variante de ce que nous avons fait pour la construction par associativité de la fonction AND.

Nous constatons que la table de vérité obtenue coïncide bien avec celle obtenue par la définition en langue naturelle : la sortie vaut 1 si une entrée, au moins, est à 1. Néanmoins, la procédure mathématique est plus rigoureuse.

Porte NOR à trois entrées

Il reste à définir la porte NON-OU à trois entrées.  Nous combinons la nouvelle fonction OU à trois entrées avec une complémentation sur cette sortie intermédiaire pour obtenir finalement la sortie de la fonction NON-OU. La sortie est à 1 uniquement pour la toute première combinaison des entrées, c’est-à-dire si toutes les entrées sont à 0.

a

b

c

$\(a+b+c\)$

$\(\overline {a+b+c}\)$

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Porte XOR à 3 entrées

La porte OU exclusif est définie pour 2 entrées en langue naturelle : la sortie est à 1 si une entrée et une seule est à 1. La table de vérité à deux entrées est immédiate avec cette définition. Rappelons-la :

a

b

$\(a \oplus b\)$

000
0

1

1

1

0

1

1

1

0

La question qui se pose est celle de la généralisation à 3 entrées, puis à n quelconque.

Ici, la définition en langue naturelle ne se généralise pas si facilement.

Doit-on écrire pour le OU exclusif à 3 entrées : la sortie est à 1 si une et une seule entrée est à 1 ?

Essayons cette définition et comparons ensuite à la procédure rigoureuse par application de la propriété d’associativité. Avec la définition précédente en langue naturelle, on obtient la table de vérité suivante :

a

b

c

s

0000
00

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

00

1

1

0

1

0

1

1

00

1

1

1

0

Nous établissons à présent la table de vérité avec la construction propre par application de l’associativité. Ainsi :

  • nous faisons d’abord le OU exclusif sur les entrées a et b pour obtenir une sortie intermédiaire ;

  • puis faisons le OU exclusif de cette sortie intermédiaire avec la troisième entrée, en l'occurrence c ;

  • nous obtenons, moyennant cette construction basée sur l'associativité, la table dans laquelle on a mis en évidence la sortie intermédiaire :

a

b

c

$\(a \oplus b\)$

$\((a \oplus b) \oplus c\)$

00000
00

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

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1

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1

1

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1

1

000

1

1

1

0

1

Par comparaison avec la table de vérité établie sur la définition en langue naturelle, plus haut, nous constatons que les deux tables coïncident, à l’exception de la toute dernière combinaison. Certes, les deux tables sont peu différentes mais en électronique logique, chaque combinaison des entrées importe. Clairement, la définition en langue naturelle ne donne pas un résultat correct, puisque ce dernier diffère de la définition mathématique rigoureuse par associativité.

Portes à n entrées

Portes AND, OR, NAND et NOR

Il reste à généraliser les portes à n entrées, n étant quelconque. Il est assez facile de comprendre que la construction est basée sur l’associativité et la récurrence selon l’équation suivante :

s=a0.a1.a2….an-1=(a0.a1…an-2).an-1)

qu’il faut interpréter comme suit : la fonction ET à n entrées est calculée en faisant le ET à deux entrées entre (a0….an-2) et an-1. La fonction à n entrées suppose donc l’existence de la fonction à n-1 entrées, elle-même définie, par récurrence, par la fonction à n-2 entrées, et ainsi de suite jusqu’à remonter à la fonction à trois entrées, elle-même définie par la fonction à deux entrées.

Exercice : nous vous recommandons de faire l’exercice pour 4 entrées, ce qui permettra de percevoir un peu mieux la mécanique de la récurrence.

Moyennant la même construction, associativité et récurrence, on définit la fonction OR à n entrées et on admettra, toujours sans démonstration, que la fonction est telle qu’elle s’exprime par sa définition intuitive en langue naturelle : la sortie vaut 1 si une entrée au moins est à 1.

Exercice : nous vous laissons le soin de définir les fonctions NAND et NOR à n entrées, ce qui ne pose aucun problème conceptuel.

Il convient de finir par une remarque qui ne relève pas du détail. Bien que les constructions rigoureuses des fonctions AND et OR à n entrées, avec n quelconque, conduisent finalement à des résultats qui coïncident avec les définitions intuitives exprimées en langue naturelle, la construction n’est pas une simple coquetterie intellectuelle. Nous allons découvrir, dans le paragraphe suivant, une nouvelle porte ou fonction élémentaire, dont la généralisation à n entrées ne pourrait être faite sans la construction rigoureuse.

Porte XOR à n entrées - Contrôle de parité

Quand on regarde attentivement la table de vérité de la porte XOR à 3 entrées, on voit apparaître une propriété intéressante, même si elle ne saute pas aux yeux. Quand on considère les 4 bits faits de la réunion des 3 entrées et de la sortie, on voit que le nombre total de bits à 1 dans ce mot de 4 bits est pair pour toutes les combinaisons. On montre (ce n'est pas l'objet ici) que cette propriété reste vraie pour n entrées quelconques.

Imaginons que nous ayons à présent 8 entrées notées respectivement $\(D_0\)$ à $\(D_7\)$ , avec $\(D_0\)$ placée dans la table de vérité comme poids faible (LSB, pour Least Significant Bit). Il est impossible d'écrire la table de vérité avec 8 entrées parce qu'il y a 256 combinaisons. Supposons que les entrées soient dans la combinaison :

$\(D_7\)$

$\(D_6\)$

$\(D_5\)$

$\(D_4\)$

$\(D_3\)$

$\(D_2\)$

$\(D_1\)$

$\(D_0\)$

s

0

1

000

1

1

1

0

On peut donner l'état de la sortie s qui est le OU exclusif sur ces 8 entrées, de manière à ce que le nombre total de bits à 1 sur les 9 bits (8 entrées plus sortie) soit pair. Comme il y avait 4 bits à 1 sur les 8 entrées, la sortie s est à 0.

On peut imaginer tout de suite une application qui est bien réelle à cette fonction OU exclusif. Il s'agit du contrôle de parité. Aujourd'hui, les liaisons numériques sont quasiment toutes sérielles. Cela signifie que lorsqu'on transmet des données organisées souvent en mots de 8 bits, on transmet sur un canal unique un bit après l'autre, par exemple de $\(D_0\)$ à $\(D_7\)$.

Supposons à présent qu'un bit commute erratiquement au cours de la transmission à cause d'un parasite quelconque, par exemple que $\(D_0\)$ commute de 1 à 0. À la réception, le contrôle de parité consiste à faire le OU exclusif sur les 9 bits (les 8 bits utiles plus le bit de contrôle). On obtient avec l'exemple précédent et la corruption de $\(D_0\)$ :

$\(D_7\)$

$\(D_6\)$

$\(D_5\)$

$\(D_4\)$

$\(D_3\)$

$\(D_2\)$

$\(D_1\)$

$\(D_0\)$

s

e

0

1

000

1

1

00

1

En tant que OU exclusif des 9 bits reçus, la sortie logique e est placée à 1. On peut donc interpréter la sortie du OU exclusif à 9 entrées calculé à la réception comme un bit d'erreur qui indique que la liaison s'est mal passée. En l'absence de corruption, les 9 bits émis sont tels que le nombre total de bits à 1 est déjà pair. En cas de transmission sans erreur, cette sortie e est ainsi à 0.

En résumé

Il est temps d'aborder la question matérielle. Quels types de circuits électroniques sont capables d'implémenter les portes logiques que nous avons découvertes ? Le chapitre suivant donne des éléments d'électronique intégrée.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite