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J'ai tout compris !

Mis à jour le 01/10/2019

Apprenez à simplifier les expressions booléennes

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Dans ce chapitre, il s'agit d'utiliser les théorèmes que nous avons vus dans le chapitre précédent, pour simplifier des expressions. Nous allons nous contenter d'exemples d'illustration.

Exemple 1

Simplifier l'expression $\(\bar a . \bar b + \bar a . b + a.\bar b +a.b\)$ 

Solution :

$\( \bar a . \bar b + \bar a . b + a.\bar b +a.b =\bar a . (\bar b + b) + a.(\bar b+b) =\bar a .1 + a.1 = \bar a + a =1\)$

Nous avons ici factorisé respectivement $\(\bar a\)$ et $\(a\)$, ce qui a conduit ensuite à des simplifications évidentes.

Exemple 2

Simplifier l'expression $\((\bar a + \bar b).(\bar a +b).(a + \bar b).( a + b)\)$ 

Solution :

$\( (\bar a + \bar b).(\bar a +b).(a + \bar b).( a + b) =(\bar a + \bar b . b).(a + \bar b . b)=(\bar a + 0).(a+0)=0\)$

Ici, nous avons utilisé la deuxième relation du théorème 7 : distributivité. Elle est moins naturelle parce qu'il n'y a pas d'équivalent en arithmétique usuelle. Il faut donc un œil exercé pour repérer la simplification.

Exemple 3 et nouveaux théorèmes

Ce nouvel exemple peut venir enrichir notre liste de théorèmes du chapitre précédent. Nous allons donc démontrer deux nouvelles relations, mais qui sont basées sur une technique de simplification.

$\(X+X.Y = X.(1+Y)X.1=X\)$

 $\(X.(X+Y)=X.X + X.Y = X + X.Y =X\)$  

Avec ce concept de redondance, il est aisé de résoudre les deux exemples ci-dessous :

$\(a+a. \bar b + a. \bar b . \bar c + a. \bar b . c + a.b. \bar c = a\)$

$\((\bar a + b +c).(\bar a + b).(\bar a + b + \bar c)=a\)$

Exemple 4 et retour sur la dualité

Simplifier $\(a.b+a. \bar b .c\)$ 

Solution :

$\(a.b+a. \bar b .c = a.(b+ \bar b .c)=a.(b+c)=a.b+a.c\)$

Nous avons ici utilisé la première relation du théorème 8 dit de simplification. Une conséquence de la dualité est que si, dans la relation précédente, nous échangeons les fonctions ET et OU, la relation reste vraie. On en déduit, sans calcul :

$\((a+b)+(a+ \bar b +c) =(a+b)+(a+c)\)$

Exemple 5 : application de la dualité

On admet que $\(a.b + \bar a .c + b.c = a.b + \bar a .c\)$ 

 Sauriez-vous le démontrer ? Comment peut-on procéder sans simplification des expressions ?

Démontrer une nouvelle égalité en prenant les expressions duales de chaque membre.

Solution :

On trouve $\((a+b).(\bar a +c).(b+c)=(a+b).(\bar a +c)\)$ 

Exemple 6

Simplifier l'expression $\(a.b.c.d+a.b. \bar c . \bar d+a.b. c . \bar d+a.b. \bar c . d+a.b.c.d.e + a.b. \bar c . \bar d . \bar e + a.b. \bar c . d . e\)$

Solution :

Il s'agit de trouver des redondances. Les trois derniers termes de la somme sont redondants avec respectivement le premier, le deuxième et le quatrième. Pour chaque paire de termes, la variable $\(e\)$ disparaît. On réduit donc l'expression à :$\(a.b.c.d+a.b. \bar c . \bar d+a.b. c . \bar d+a.b. \bar c . d= a.b.(c.d + \bar c . \bar d + c. \bar d + \bar c .d)=a.b\)$  

Exemple 7

On peut là aussi ajouter deux nouvelles relations à notre liste de théorèmes. Les deux nouvelles relations sont connues sous le nom de théorème de transposition.

En résumé

Nous sommes à présent relativement fluides dans la manipulation des expressions booléennes. Toutefois, dans un contexte réel, la synthèse d'un circuit consiste plutôt à partir d'une table de vérité qui décrit le comportement de la fonction combinatoire. Le chapitre suivant montre des techniques de synthèse qui permettent de convertir une table de vérité en expression booléenne, qu'on pourra ensuite réaliser avec des portes élémentaires.

Exemple de certificat de réussite
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