Exprimez un problème sous la forme d’une description entrée/sortie
Le métier de l’électronique — ou plus généralement de l’ingénierie — utilise le concept de fonction de transfert, qui est un opérateur mathématique qui transforme le signal d’entrée vers la sortie au travers d’une fonction qui matérialise le cahier des charges.
Poursuivons l’approche schéma bloc fonctionnel, qui modélise la transformation de l’entrée ue en sortie us au travers de la fonction de transfert T(f) et identifions le concept de boucle ouverte et boucle fermée.
En maintenant notre approche « pragmatique », il est conceptuellement exclu de modéliser et prévoir tous les changements qu’un système peut subir, mais on peut « sans les modéliser » tenter de compenser leurs effets. Un peu comme un cuisinier qui goûte pour ajuster sa recette, on va contrôler un système en observant sa sortie et en venant compenser les erreurs éventuelles. On modifiera pour cela le signal d’entrée en construisant une nouvelle consigne.
Soit le schéma de principe suivant, avec T_d(f), fonction de transfert de la chaîne directe et T_r(f) , chaîne de retour qui est rajoutée pour « gagner en robustesse », et où le symbole ⊗ désigne le point de sommation ou soustraction du signal d’entrée ue et du signal de retour Trus .
Apparaît visuellement le concept de boucle fermée (closed loop) où Tr(f) vient « refermer » la boucle d’asservissement.
En développant les expressions, on obtient l’expression de T_ , nouvelle fonction de transfert globale :
T_=usue=T_d1+T_dT_r=1T_rT_dT_r1+T_dT_r
La première remarque qui vient à l’esprit est :
Pourquoi avoir soustrait Tr(f)us à ue , c'est-à-dire avoir créé une opposition de phase ?
Le bon sens tenterait de répondre en disant qu'on vient « contrer » les effets indésirables... Mais revenons à l’équivalence fonction de transfert équation différentielle.
Démontrons-le…
Soit le système en boucle ouverte :
Td(f)=A01+jffc=A01+jωτc=usε
qui se représente aussi par l’équation différentielle :
τcdusdt+us=A0ε
On modélise la rétroaction (l’effet du signe de la boucle de retour) par la relation :
ε=ue+[sgn(r)]Trus , où sgn(r)= fonction signe de la rétroaction notée r ,
soit sgn(r)=+1 pour une rétroaction positive
et sgn(r)=−1 pour une rétroaction négative.
Supposons, pour simplifier le calcul, que Tr(f) soit un coefficient positif noté αr
L’équation différentielle à résoudre en boucle fermée s’écrit :
τcdusdt+us[1−sgn(r)αrA0]=A0ue
équation différentielle dont la solution générale est de la forme :
us=Kexp[sgn(r)αrA0tτc]
où la constante K est déterminée par les conditions initiales.
La fonction exponentielle, sous l’hypothèse αr>0 :
Pourquoi et comment calculer la réponse à une entrée sinusoïdale ?
" C’est aussi la chaleur que gouvernent les nombres. » ou « L’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. » : deux citations reprises par Joseph FOURIER, mathématicien inspiré par la physique (source : article du CNRS de Jean-Pierre Kahane).
Pour apprendre à ne pas se figer sur des notations (bien que normalisées par l’AFNOR), prenons l’exemple d’une fonction de transfert A(f) de gain A0 et de constante de temps τc en rappelant l’écriture de l’équation différentielle associée :
A(f)=A01+jωτc=us(f)ue(f) ⟷ τcdus(t)dt+us(t)=A0ue(t)
Ainsi, en régime permanent sinusoïdal, à la tension différentielle d’entrée ue(t)=Usinωt correspond la solution particulière us de la forme us(t)=Ksin(ωt+β) , où on identifie les constantes K et β d’après l’expression :
Ksin(ωt+β)+Kτcωcos(ωt+β)=A0Usinωt
Par analogie avec le plan des complexes (les fonctions sinus et cosinus étant déphasées de π/2 ), le premier membre de l’équation précédente peut se mettre sous la forme module et argument :
Ksin(ωt+β)+Kτcωcos(ωt+β)=K√1+(τcω)2sin(ωt+β+θ)
Avec :
θ=Arctan(A0ω/1)=Arctan(A0ω)
En identifiant avec le second membre de l’équation différentielle, il vient :
K=A0U√1+(τcω)2=|A_(ω)|U et β=−θ=−Arctan(A0ω)=Arg(A_(ω))
Analysez l'ensemble des réponses sinusoïdales dans la construction du diagramme de Bode
Le diagramme de Bode permet de visualiser graphiquement la modification en module et en déphasage (ou retard) d’un signal d’entrée sinusoïdal traversant un système modélisé par sa fonction de transfert A(f) .
Bien qu’il n’existe pas de relation linéaire reliant entrée et sortie d’un système exprimée dans la variable temps, on peut, dans le cas d’une entrée sinusoïdale à la fréquence f1 , déduire le régime permanent du signal de sortie à partir des caractéristiques module et argument de la fonction de transfert A(f1) . Si on se rappelle la propriété de décomposition en série de Fourier de tout signal, on peut donc « observer indirectement » la transformation du signal d’entrée en construisant le diagramme de Bode de la fonction de transfert — méthode de représentation en fréquence de l'amplitude et de la phase d'un système proposée en 1938 par l’Américain Hendrik Wade Bode.
Ce graphique va présenter deux spécificités :
en abscisse, parce que le spectre d’un signal s’étend de quelques Hz à quelques GHz, les fréquences sont portées sur une échelle logarithmique ; aussi la fréquence nulle n’est plus représentable, comme log100 n’est pas défini ;
en ordonnée, alors qu’on a besoin de représenter le module de la fonction de transfert, module par définition strictement positif et sans unité, on décide de le représenter en dB (décibels) défini par :
Gu,dB(f)=20log10|A(f)|=20log10|us(f)ue(f)|
À titre d’exemple, un gain de 100 000=105 correspond à 20lg105=100dB .
Tracer 20lg10{A0/[1+(f/fc)2]1/2} , qui plus est sur un axe des abscisses logarithmique, est inenvisageable sans moyen de calcul. En pratique, on préfère donc se contenter d’effectuer le tracé des asymptotes en repérant les points caractéristiques définis autour de la fréquence de coupure fc .
En décomposant l’espace des fréquences en trois zones, on identifie sans calcul le tracé des asymptotes :
Zone 1 : pour f<<fc on a |A(f)|≅A0 , valeur réelle d’où :
une phase nulle (ou un déphasage nul entre le signal de sortie et le signal d’entrée).
une asymptote du module représentée par la droite horizontale définie par : |A(f1)|u,dB=20lgA0=Gu,dB
Zone 2 : pour f>>fc on a : A_(f)≅A0jffc≅−jfcA0f
l’asymptote du module est définie par :
|A_(f)|u,dB=20lgA0−20lg(ff0)=Gu,dB−20lg(ff0) ce qui, dans le tracé logarithmique, représente l’équation d’une droite dont le coefficient directeur (la pente) vaut -20dB/décade. On rappelle qu’une décade correspond à un intervalle de fréquences où les bornes f1 et f2 sont définies telles que f2=10f1 .
la phase est constante et égale à −π/2 .
Zone 3 : c’est la zone où la fonction de transfert est à la fois réelle et imaginaire, on considère qu’elle concerne les fréquences f telles que f∈[f1,f2]
Il faudra nécessairement calculer. Une valeur est « facile » à calculer lorsqu’on se situe à la fréquence de coupure de la fonction de transfert, soit avec f=fc :
A_(fc)=A01+j
soit une valeur de module et d’argument :
|A_(fc)|u,dB=20lg(A0)−20lg(√2)=Gu,dB−3dB
Arg[A_(fc)]=−π4
Avec « l’habitude », le tracé asymptotique d’une fonction sera quasi immédiat dès lors que la fonction de transfert sera exprimée sous la forme de fonctions dont le terme réel est normé :
C_(f)=C0[jffz1]...[jffzk][1+jffzk+1]...[1+jffzk+1+m][jffp1]...[jffpk][1+jffpk+1]...[1+jffpk+1+m] Où :
fzi sont les racines du numérateur que l’on appelle les zéros, d’où l’indice z ;
fpi sont les racines du dénominateur que l’on appelle les pôles, d’où l’indice p .
De la propriété de la fonction logarithme où :
lg(bp)=lgb+lgp
lg(b/p)=lg(b)−lg(p)
La représentation dans le plan de BODE de cette fonction "produit de fonctions unitaires" se traduira sous la forme de la somme des tracés de chaque fonction élémentaire.
Module et argument d’une fonction de transfert permettent d’anticiper par une lecture graphique du diagramme de Bode les propriétés d’une fonction de transfert. Nous allons aborder la réalisation matérielle d’une fonction de transfert en utilisant l’amplificateur opérationnel câblé en rétroaction négative.
