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Mis à jour le 12/12/2019

Amplifiez le signal d’un capteur

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Découvrez le composant Amplificateur Opérationnel pour amplifier un signal

Utilisé en tant que « système analogique », l’Amplificateur Opérationnel, composant ACTIF noté AO, présente la propriété de délivrer en sortie un signal (tension ou courant) proportionnel à l'amplitude de :

  • la grandeur (tension ou courant) présente en entrée,

  • la somme de plusieurs grandeurs,

  • la dérivée ou l’intégrale d’une grandeur.

L’amplificateur opérationnel est un composant ACTIF auquel on associe au moins 5 broches (ou plots de connexion), correspondant à :

  • deux entrées, respectivement notées u+ et  u

  • une sortie, notée  us

  • une tension de polarisation positive, notée uALIM,positive  

  • une tension de polarisation négative, notée uALIM,négative  

Le symbole électrique de l’AO est (notation IEEE ANSI à gauche, ancienne notation à droite) :

Symbole électrique de l'A.O.
Symbole électrique de l'A.O.

Modélisez un Amplificateur Opérationnel

On associe donc à tout amplificateur opérationnel le modèle comportemental mis sous la forme :

  •  d’une équation différentielle d’ordre un dans l’espace-temps, équation présentant des analogies avec l’équation de la tension aux bornes de la capacité dans un filtre passe-bas type réseau RC :

                                       τcdusdt+us=A0ε 

  • d’une équation algébrique de variables dans l’espace des fréquences (ou des pulsations), avec un coefficient de proportionnalité  A(f)  

                                    us(f)=A(f)(u+u)=A(f)ε(f) 

où   A  est la fonction associée au gain différentiel en boucle ouverte de l’AO, définie par :

                                    A_(x)=A01+jx avec :  x=ωωc=ffc 

  • avec A0 grandeur sans unité, gain différentiel statique obtenu lorsque tend vers zéro (valeur typique typique comprise entre   104 ,  107  )

  •  τc constante de temps de l’AO, dont l’ordre de grandeur est la dizaine de millisecondes, qui peut aussi se noter ωc pulsation de coupure l’AO ou fc  fréquence de coupure l’AO, définie par :    fc=12πτc              

Parfois, le constructeur donne le produit A0fc qualifié de produit gain bande passante — en anglais Unity Gain ou Unity Gain Bandwidth product.                    

On traduit les caractéristiques de comportement électrique de l’AO en schéma électrique équivalent, en définissant deux types de modèles :

  • le modèle réel, qui traduit les caractéristiques réelles de l’AO au sens des imperfections du modèle, en introduisant la notion d’impédance différentielle d’entrée  Re et d’impédance de sortie  Rs , données par le fabricant ;

  • le modèle idéal, qui permet de faire une analyse ou une synthèse très efficace des montages à base d’AO, où on considérera  Re infinie,  Rs nulle et  fc très grande. Pour rappeler cette hypothèse fausse de bande passante infinie (qu’un théorème élucidera), on place le symbole infini sous le triangle.

Modèle réel (à gauche) vs. modèle idéal (à droite)
Modèle réel (à gauche) vs. modèle idéal (à droite)

Identifiez les domaines de fonctionnement linéaire et saturé

Ainsi, du point de vue amplitude, la caractéristique statique us(ε) fait apparaître trois zones de fonctionnement de l’amplificateur suivant les valeurs de la tension d’entrée.

Caractéristique de transfert de l'A.O.
Caractéristique de transfert de l'A.O.

L’expression linéaire dans l’espace des fréquences us=A_(ε) est limitée par le caractère « composant actif » de l’AO, qui implique au minimum trois limites :

Utilisez un AO en boucle ouverte ou boucle fermée

Deux observations appellent au concept de rétroaction :

  • le couple tension d’alimentation et gain A0 de l’AO : à basse fréquence le produit  A0ε devant respecter le critère de non-saturation en amplitude, on en déduit que ε devrait tendre vers 0, sinon il y aura saturation de la tension de sortie.

  • pourquoi tous les constructeurs rivalisent pour avoir un A0 encore plus grand ?

La question qui se pose est : comment modifier le comportement d’une fonction de transfert et ses paramètres intrinsèques, à savoir le gain et la fréquence de coupure, dans le cas d’un système d’ordre un ?

Considérons deux fonctions de transfert T_d  et T_r que l’on souhaite agencer comme présenté ci-dessous.

Ce système peut être représenté par le diagramme fonctionnel où on identifie :

  • une chaîne directe de fonction de transfert  T_d(f) , avec  us=T_dδ

  • une chaîne de retour de fonction de transfert  T_r(f) , avec  δ=ueT_rus  

  • la notion de boucle fermée — ou « feedback » en anglais — qui apparaît au travers de la fonction de retour de la sortie vers l’entrée.

Établissons la relation  T_  entre la sortie et l’entrée du nouveau système ainsi créé, où :

  • le symbole  désigne le point de sommation du signal d’entrée  ue 

    et du signal de retour T_rus 

  • le signe «-» signifie que le signal de sortie us , multiplié par T_r est ramené en opposition de phase sur l’entrée.

Schéma bloc d'une fonction de transfert en boucle fermée
Schéma bloc d'une fonction de transfert en boucle fermée

Il vient :         T_=usue=T_d1+T_dT_r=1T_rT_dT_r1+T_dT_r  

Comment nous approprier ce concept ?

Associons à T_d  la fonction de transfert A(f) de l’AO et considérons la chaîne de retour constituée par des éléments conférant, pour commencer, une valeur réelle positive  T_r=α>0

Ré-écrivons l’expression de T(f) obtenue :

              T(f)=A01+jffc1+αA01+jffc=A01+αA0+1+jffc=(A01+αA0)(11+jffc(1+αA0))=T01+jff0  

On identifie donc l’expression et les paramètres de la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée, avec un nouveau gain et une nouvelle fréquence de coupure :

 T(f)=T01+jff0 avec f0=fc(1+αA0)    ou τ0=12πf0=12π(1+αA0)=τ01+αA0 et   T0=A01+αA0

On déduira de cette observation une règle de conception évidente pour un AO, à savoir l'obligation d’un feedback négatif pour assurer un fonctionnement en régime linéaire.

Exemple de montage pour amplifier le signal d’un capteur : le montage amplificateur non inverseur

En supposant l’AO idéal ET en fonctionnement en régime linéaire (ε=0), on a les relations :

  u+=ue  et   u=R1R1+R2us   d'où   us=(1+R2R1)ue

La fonction de transfert s'écrit :  T=usue=(1+R2R1) 

Montage amplificateur (Non Inverseur)
Montage amplificateur (Non Inverseur)

À supposer que l’on souhaite fixer le facteur d’amplification en tension du montage à la valeur 10 (soit 20dB), on ne dispose que d’une équation R2=9R1 pour fixer les valeurs de résistances des résistors R1 et R2 .

Néanmoins, l’hypothèse AO idéal, qui a conduit à cette relation, suppose l’utilisation de résistances :

  • inférieures à l’impédance différentielle d’entrée Requi a été considérée comme infinie,

  • supérieures à l’impédance de sortie Rs qui a été considérée comme nulle.

Enfin, la structure interne du composant autorise des valeurs de courant de l’ordre de quelques mA. Dès lors, les niveaux de tension maximum en entrée étant compris entre +uALIM et uALIM , avec |uALIM| de l’ordre de 3 à 15 Volts, les résistances seront dans la gamme du kΩ .

Par exemple, le couple (R1,R2)=(1kΩ,10kΩ) induit un gain théorique de 11, alors que le couple (R1,R2)=(10Ω,100Ω) , qui donne théoriquement le même gain, est électriquement INTERDIT.

En pratique, pour éviter une surchauffe avec risque de feu, tout concepteur doit s’interroger en permanence sur la puissance électrique qu’une résistance est susceptible de dissiper dans le circuit où elle se trouve montée. On les distingue aisément par la taille du composant : une résistance pouvant dissiper 1 watt correspond à peu près à un cylindre long de 1,5 cm et de 5 mm de diamètre. La série la plus couramment utilisée correspond à une dissipation maximale d’un quart de watt.

On réalise le montage assurant le gain théorique de 11, en utilisant un AO type LM741C.

■ Dans le cas d’un signal d’entrée sinusoïdal de fréquence 222Hz,  on observe que le signal de sortie est en phase avec le signal d’entrée et présente une amplitude environ 11 fois plus grande (la mesure donne 10.8 dans le cas de résistances à 10%).

■ Dans le cas d’un signal « carré », le gain en tension est toujours de 11, même si lorsqu’on effectue un zoom sur la transition de l’état bas vers l’état haut il semble exister une déformation du signal de sortie, en partie liée à la bande passante du montage et à la saturation en vitesse de l’AO.

Signal sinusoïdal (à gauche) vs. signal carré (à droite)
Signal sinusoïdal (à gauche) vs. signal carré (à droite)

En augmentant l’amplitude du signal d’entrée, on observe le phénomène de saturation en amplitude inhérent aux tensions d’alimentation de l’AO. Il est opportun de valider le fait que la saturation est obtenue pour un niveau de signal d’entrée légèrement inférieur au niveau de tension de saturation théorique. Dans notre exemple, on aurait un niveau de saturation positive pour une amplitude du signal d’entrée définie par la relation :  uALIMT0=1511=1.36V  

Le fait de ne pas pouvoir considérer uALIM comme véritable niveau de tension de saturation, est directement lié aux pertes internes de la structure électronique de l’AO. Dans notre cas, on observe des niveaux de tension de saturation non symétriques +13.7V et –1.4V et inférieurs aux tensions d’alimentation, ± uALIM =±15V. 

Saturation de l'amplificateur opérationnel
Saturation de l'amplificateur opérationnel

On peut tout de même illustrer le phénomène de limitation en fréquence sur l’étude d’un montage à contre-réaction. Considérons l’étude expérimentale du montage amplificateur de gain en tension T0=100 , défini par le couple 1kΩ , 100kΩ . En faisant varier la fréquence du signal d’entrée de forme sinusoïdale, on remarque que le montage « amplificateur non inverseur » présenté auparavant ne remplit sa fonction que dans un intervalle de fréquences du signal d’entrée, qui dépend du choix de l’AO utilisé.

Comparaison des réponses temporelles à f=1kHz
Comparaison des réponses temporelles à f=1kHz
Comparaison des réponses temporelles à f=15kHz
Comparaison des réponses temporelles à f=15kHz

Comparaison des réponses temporelles à f=150kHz
Comparaison des réponses temporelles à f=150kHz

Cette remarque, de prime abord en contradiction avec le résultat obtenu en considérant l’AO IDEAL, traduit la limite fréquentielle fc  de l’AO, fréquence de coupure donnée par le constructeur qui avait été négligée (considérée comme infinie) dans l’hypothèse AO idéal.

La valeur de cette nouvelle bande passante peut être calculée en utilisant le modèle de l’AO réel, ou bien en admettant que le produit [gain stationnaire x bande passante du montage] se conserve en boucle ouverte et en boucle fermée, ce que traduit l’équation  T0fc,r=A0fc 

Adapter en « Impédance » : c’est quoi ?

Un système composé de variables hétérogènes (électriques ou non) peut être décomposé en sous-systèmes associés à des fonctions connectées en série.

Mathématiquement, sous réserve que la variable ua  soit non nulle, on peut définir la décomposition de la fonction de transfert selon le produit de deux sous-fonctions : 

  A=usue peut s’écrire sous la forme  A=usue=usuauaue=A1A2  

Association en série (ou en cascade) de fonctions de transfert
Association en série (ou en cascade) de fonctions de transfert

A1  et A2  représentent respectivement les fonctions de transfert des deux sous-systèmes.

Cette opération n’est physiquement réalisable que sous des conditions d’adaptation d’impédances que les montages à contre-réaction rempliront ou devront remplir.

Analysons cette problématique dans l’exemple de la connexion série de deux montages à base d’AO.

Association en cascade de deux montages amplificateurs
Association en cascade de deux montages amplificateurs

Le problème est le suivant : le calcul effectué lors de la modélisation du montage amplificateur a été réalisé en ne connectant rien en sortie du montage, ce qui revient à considérer une charge infinie, c’est-à-dire aucun courant prélevé par le montage aval, ici avec l’interrupteur I ouvert.

En revanche, en fermant l’interrupteur I, on doit se questionner sur la nouvelle charge appliquée au montage et sa conséquence sur la modélisation. Ce nouveau problème qui semble poindre n’en est pas vraiment un, si on accepte de retranscrire le montage sous sa forme de schéma électrique équivalent, où Ze,i  et Zs,i  sont respectivement les impédances d’entrée et de sortie du montage en boucle fermée.

Schéma électrique équivalent de l'association en cascade
Schéma électrique équivalent de l'association en cascade

L’interrupteur I se ferme, le pont diviseur de tension en entrée du montage 2 induit :  ue2=Ze2Ze2+Zs2us1 

D’où : us=Ze2Ze2+Zs2Av1Av2ue , ce qui n’est pas le « simple » produit des deux fonctions de transfert connectées en série.

L’électronicien doit veiller à garantir ce produit, c’est-à-dire à faire en sorte (ou vérifier) que le montage aval ne modifie pas, lors de sa connexion, le comportement du montage à qui il va prélever du courant.

Cette propriété est obtenue lorsque :  Ze,2Ze,2+Zs,1ssiZe,2Zs,1 

Et si ce critère n’est pas vérifié ?

En fait, il peut exister grâce au montage suiveur de tension, qui est qualifié de montage adaptateur d’impédance.

MMontage Suiveur de tension (adaptateur d'impédance)
Montage suiveur de tension (adaptateur d'impédance)

C’est le montage le plus simple à réaliser, où on reboucle la totalité du signal de sortie sur l’entrée inverseuse. La rétroaction négative, conjuguée aux hypothèses AO idéal, implique ε=0 , soit u+=u , avec u+=ue  et u=us  , d’où la fonction de transfert du montage :  T=usue=1=T0

Une analyse rapide conclurait à qualifier ce montage de « fil qui garantit une équipotentielle » mais qui, d’une part, nécessiterait un apport d’énergie externe et, d’autre part, serait limité en bande passante…

Les raisons du succès de ce montage sont donc ailleurs !

Afin de modéliser l’influence de la bande passante de l’AO, considérons à présent l’étude dans le cas réel, où l'on représente le schéma électrique équivalent du montage.

Transcription en schéma électrique équivalent
Transcription en schéma électrique équivalent

La source A_ε est commandée en tension (source liée). On ne peut donc pas appliquer le théorème de superposition. En revanche, l’expression de la loi d’Ohm s’écrit :  i=ueA_εRe+Rs=ueusRe avec  ε=ueus 

On en déduit :   ueA_[ueus]Re+Rs=ueusRe

soit :  us=ReA_+RsRe(1+A_)+Rsue 

Et en remarquant que Re>>Rs  (par construction de l’AO), il vient, où A(f) est la fonction de transfert de l’AO en boucle ouverte, l’expression de la tension de sortie :   us=A_(1+A_)ue 

 Calculons l’expression des impédances d’entrée et de sortie, respectivement notées Ze  et Zs , définies selon :

  • Impédance d'entrée :  Ze=ueie 

 comme  ε=Reie et  ε=ueus=ue(1T) avec  T=A1+A 

on trouve que ε=ue[1A1+A]=ue1+A , soit :  Reie=ue(11+A) 

D’où la valeur de l’impédance d’entrée du montage en boucle fermée :

                                          Ze=ueie=Re(1+A)  

  • Impédance de sortie : Zs=(usis)ue=0  

De par sa conception, l’AO garantit Re>>Rs  , donc l’effet pont diviseur de is sur la branche contenant Re  est négligeable.

Il vient donc :  us=Aε+Rsis , avec pour ce calcul ue=0  soit ε=us

D’où, en reportant dans la première équation, on a :  us(1+A)=Rsis 

Soit la valeur de l’impédance de sortie du montage en boucle fermée :

                                  Zs=(usis)ue=0=Rs1+A 

Et si on se préoccupait des impédances à adapter dans le cas de la mesure d’une tension via un oscilloscope ?

Pourquoi mesurer une tension via un simple câble n’est valide que sur une plage de fréquences ?

Pourquoi existe-t-il des sondes de mesure de tension et comment les utiliser ?

Nous savons réaliser matériellement tout type de fonction de transfert en ajustant des résistances ou condensateur autour d’un AO en boucle fermée.

Il faut à présent conditionner, c’est-à-dire adapter la sortie d’un capteur pour pouvoir l’interfacer avec un microcontrôleur et l’exploiter au mieux.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite