Mis à jour le 11/09/2015
  • 20 heures
  • Facile

Les polygones réguliers

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Dans ce chapitre, nous allons étudier les polygones réguliers, c'est-à-dire les polygones dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles la même mesure. L'objectif est de trouver la formule qui permet de calculer leur aire en fonction du nombre de leurs côtés et de la mesure de leurs angles.

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Cela va être l'occasion de mettre en application les connaissances en trigonométrie que nous avons acquises dans la partie II de ce cours. Nous ne sommes toutefois pas au bout de nos surprises car les polygones croisés nous réservent quelques découvertes surprenantes qui vont nous entraîner dans le monde des surfaces multiples et orientées !

Polygones sans croisements

Construction des polygones

Commençons par le cas le plus simple, il s'agit des polygones réguliers non croisés. Voici quelques exemples de tels polygones ayant de 3 à 7 côtés.

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On pourrait continuer longtemps comme ça : 8 côtés, 9 côtés, 10 côtés, 11 côtés... Pour chaque nombre entier supérieur à 3, on peut construire des polygones réguliers non croisés ayant ce nombre de côtés.

Pour pouvoir étudier ces polygones réguliers, nous allons avoir besoin d'une définition un peu plus précise de la façon dont nous les construisons. En particulier nous n'avons pour l'instant pas précisé leur taille. Nous allons donc considérer les polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon égal à 1. Leur construction se fait en 3 étapes :

Étape 1

Étape 2

Étape 3

On trace un cercle de rayon 1.
On trace un cercle de rayon 1.
On place n points à intervalle régulier sur le cercle.
On place n points à intervalle régulier sur le cercle.
On trace le polygone.
On trace le polygone.

Dans cet exemple, on a n=7, on tombe donc sur l'heptagone. Dans la suite nous nommerons $\(\mathcal{A}_n\)$l'aire du polygone régulier à n côtés. Le but de ce chapitre est donc de trouver une formule générale qui donne l'aire $\(\mathcal{A}_n\)$en fonction de n. Pour nos figures, nous utiliserons le cas n=7, mais nos résultats seront valables pour tout n.

La trigonométrie à la rescousse

Si vous vous souvenez ce que nous avons dit dans la partie sur la trigonométrie, vous savez que la première chose à faire est de trianguler notre polygone, c'est-à-dire le découper en triangles. La façon la plus naturelle de faire ceci est de le découper en n triangles en partant du centre du cercle.

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Une fois le découpage effectué, l'aire du polygone est égal à n fois l'aire de chaque petit triangle. Reste à calculer l'aire de l'un de ces triangles, pour cela, commençons par faire un zoom sur la figure :

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Nous connaissons deux des côtés du triangles qui mesurent 1 puisque ce sont les rayons du cercle de base. Et nous connaissons également l'angle au centre de ce triangle qui mesure $\(360\div n\)$puisqu'un tour complet fait 360° et qu'il y a n triangles qui entourent le centre du cercle.

Bref, nous avons trois informations sur notre triangle, donc c'est gagné ! Nous savons maintenant tout calculer. En particulier, pour trouver son aire, il faut calculer une de ses hauteurs. Il y a plusieurs façons de faire, la plus simple étant sans doute de choisir la hauteur suivante :

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Comme indiqué sur la figure, cette hauteur mesure $\(\sin(360/n)\)$, en effet, il s'agit du côté opposé à l'angle de 360/n dans le triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 1. Ainsi, la surface de ce triangle mesure :  $\(\mathcal{A}_ ext{triangle}=\frac{ ext{base} \times ext{hauteur}}{2}=\frac{1 \times\sin(360/n)}{2}\)$.

Et au final, l'aire totale du polygone régulier non croisé à n côtés s'obtient en multipliant cette valeur par n : 

 $\(\mathcal{A}_n=\frac{n}{2}\sin(\frac{360}{n})\)$.

Polygones croisés

Si l'aire des polygones convexes se calcule assez directement en utilisant la trigonométrie, les choses deviennent un peu plus subtiles quand on passe aux polygones croisés. Pour construire ces polygones, les deux premières étapes sont les mêmes :

Étape 1

Étape 2

On trace un cercle de rayon 1.
On trace un cercle de rayon 1.
On place n points à intervalle régulier sur le cercle.
On place n points à intervalle régulier sur le cercle.

Seulement pour la troisième étape, au lieu de relier les points les uns à la suite des autres, nous allons les relier en en sautant à chaque fois un certain nombre. Par exemple, dans le cas de l'heptagone (7 côtés), on peut relier les points de deux en deux, ou bien de trois en trois :

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Dans la suite nous noterons $\(\mathcal{A}_{n,k}\)$l'aire du polygone étoilé à n côtés dont les sommets sont reliés de k en k. Autrement dit, les aires des deux exemples ci-dessus sont $\(\mathcal{A}_{7,2}\)$et $\(\mathcal{A}_{7,3}\)$. L'aire des polygones non croisés que nous avons vus dans la section précédente se note donc de cette façon $\(\mathcal{A}_{n,1}\)$puisque les points sont reliés directement de 1 en 1.

Pour calculer l'aire de ces figures, il se pose un problème inattendu. Prenons par exemple la première étoile où l'on relie les points de deux en deux et regardons le point A suivant :

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La question est toute bête : est-ce que le point A se trouve à l'intérieur de la figure ? Ou en d'autres termes, la zone centrale doit-elle être comptabilisée dans le calcul de l'aire ?

Dans un certain sens, on a envie de dire que oui, le point A est dans la figure puisque celle-ci l'entoure. Mais d'un autre côté, si on imagine un point qui se trouve à l'extérieur et qui se rend au point A, il doit traverser deux fois la ligne du polygone, donc la première fois il rentre dedans et la deuxième fois il ressort. En clair, laquelle des deux surfaces suivante veut-on calculer ?

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Eh bien la réponse est : ni l'une ni l'autre ! :o Étonnamment, nous allons voir que c'est une troisième façon de calculer l'aire qui est la plus naturelle. Arrivez-vous à imaginer laquelle ?

En mathématiques, on aime bien quand les objets et les formules que l'on trouve sont les plus générales possibles. Autrement dit, on aimerait que le calcul de l'aire des polygones étoilés donne une formule qui est simplement une généralisation de la formule que nous avons découverte pour les polygones non croisés. Pour cela, nous allons essayer de faire le même type de triangulation.

Commençons par zoomer sur la figure et regardons un triangle compris entre le centre du cercle et deux points consécutifs du polygone :

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L'angle au centre de ce triangle vaut $\(360\div n \times k\)$puisque l'angle entre deux points consécutifs du cercle vaut $\(360\div n\)$et qu'il faut multiplier cet angle par k puisque les points sont reliés de k en k.

Comme dans le cas des polygones non convexes, nous connaissons donc l'angle au centre de ce triangle et deux de ses côtés qui mesurent 1. Son aire est donc donnée par la même formule que dans la section précédente en changeant simplement la valeur de l'angle : $\(\mathcal{A}_ ext{triangle}=\frac{1}{2}\sin(\frac{360k}{n})\)$.

Ici, on a très envie de multiplier cette aire par n, car il y a n triangles, mais si on fait cela, les zones du milieu seront comptées deux fois puisque les triangles se chevauchent :

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Mais au fond, compter deux fois la zone centrale, n'est-ce pas la solution à tous nos problèmes ?

Effectivement, ce point de vue a réellement tout pour nous satisfaire. De cette façon, si un point part de l'extérieur du polygone pour rejoindre le centre, il entre une première fois dans le polygone en franchissant le premier segment qu'il rencontre, puis une seconde fois en traversant le second. De plus, si on y regarde bien, on remarque que quand on trace le polygone, on fait deux tours autour de la zone centrale.

Si on considère d'autres polygones étoilés, il est possible que des zones appartiennent trois fois ou davantage au polygone.

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Dans ce cas, la zone centrale est entourée trois fois par le polygone, les petites zones intermédiaires ne sont entourées que deux fois et les zones qui forment les pointes de l'étoile une seule fois. En prenant ce point de vue sur les aires, on peut maintenant dire que d'une manière générale, l'aire d'un polygone à n côtés dont les sommets sont reliés de k en k est égale à :

 $\(\mathcal{A}_{n,k}=\frac{n}{2}\sin(\frac{360k}{n})\)$

Voilà une jolie formule générale qui marche également pour les polygones non croisés en prenant n=1.

Complément sur les surfaces multiples et orientées

Nous venons de voir que selon la figure, certaines zones peuvent être comptabilisées plusieurs fois dans le calcul de l'aire. Il est possible d'aller encore plus loin : avec les surfaces orientées, nous allons même nous retrouver avec des aires négatives ! :o

Mais plutôt que de longues explications, rien de tel qu'un bon dessin pour comprendre les surfaces orientées. Regardons la figure suivante :

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Pour l'instant, tout va bien : il n'y a qu'une seule zone, les points à l'intérieur appartiennent une fois à la surface et ceux à l'extérieur n'y appartiennent pas.

Reprenons cette figure et ajoutons lui une boucle tracée en tournant dans le même sens que la grande boucle.

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Si vous avez bien suivi la section précédent, la conclusion ne doit pas vous poser de problème : les points qui se situent à l'intérieur de la petite boucle appartiennent deux fois à la figure. La courbe fait deux fois le tour de ces points.

C'est maintenant que les choses vont devenir un peu plus subtile. Que se passe-t-il si on rajoute une boucle à la surface, mais en tournant dans le sens inverse ? Il suffit de tracer la figure pour avoir la réponse :

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Les points de la deuxième boucle ne sont pas dans la figure : ils y appartiennent 0 fois. On peut donc en conclure la règle suivante :

  • si on rajoute une petite boucle qui tourne dans le même sens que la grande boucle, les points à l'intérieur appartiennent une fois de plus à la figure ;

  • si on rajoute une petite boucle qui tourne dans le sens contraire à la grande boucle, les points à l'intérieur appartiennent une fois de moins à la figure.

Mais dans ce cas, que ce passe-t-il si on rajoute une double boucle qui fait deux tours dans le sens contraire ?

D'après ce que nous venons de dire, les points à l'intérieur d'une telle boucle appartiennent deux fois de moins à la figure. Ils y appartiennent donc 1−2=−1 fois !

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Eh oui, aussi étonnant que cela puisse paraître, on peut dire que cette petite boucle appartient −1 fois à la figure et son aire est donc comptée de façon négative ! De ce point de vue là, une surface peut donc avoir une aire positive ou une aire négative : c'est cela que l'on appelle une surface orientée.

Prenons un autre exemple, une figure en forme de 8 :

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Cette figure compte deux boucles, qui tournent chacune dans le sens inverse de l'autre. Ainsi si on se place du point de vue des surfaces orientées, les deux boucles s'annulent et cette figure a une aire égale à 0 !

Un petit point de vocabulaire : le nombre de tours que fait une courbe autour d'un point, s'appelle l'indice du point par rapport à la courbe. Ainsi, quand on veut calculer l'aire entourée par une courbe il faut compter chaque point autant de fois que son indice.

Allez, avant de conclure ce chapitre, un petit défi. Saurez vous donner l'indice des points de chacune des zones déterminées par la courbe suivante ?

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Solution

Voici la solution. Bravo si vous avez tout juste ! Et sinon vous êtes bon pour un recomptage, ce n'est pas toujours évident pour s'y retrouver dans ces entremêlements. :-°

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Remarquez que certaines zones ont un indice égal à 0, ceci signifie qu'elles n'appartiennent pas à la figure. Ainsi, si on construit cette figure avec une ficelle posée sur une table, que l'on pose le doigt dans une zone d'indice zéro et que l'on tire sur la ficelle, celle-ci se libère sans se prendre autour du doigt. ;)

Exemple de certificat de réussite
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