Bonjour, bonsoir.

J'ai un exercice à résoudre, et je suis bloquée sur un point depuis pas mal de temps.

Je sais que dans une fonction trinôme du second degré de type ax2+bx+c, on calcule le discriminant. 

Si le discriminant est négatif, notre étude de signe est du signe de a, mais je ne parviens pas à calculer l'extremum de ma fonction afin de déterminer sa variation.

Ma fonction est: g(x)= -x3 + 3x2- 6x +1

Donc si je ne me suis pas trompée, ma dérivée doit bien être: g'(x)= -3x2+6x - 6 

Et d'après mon calcul du discriminant /delta = b2 +4ac = 62 - 4 x (-3) x (-6) = 36 - 72 = - 36

Donc étant donné que mon discriminant est négatif, ma fonction g'(x) est toujours du même signe que a, donc le signe est négatif. Donc la fonction est toujours négatif et ne passe jamais pas l'axe des abscisses. 

Mais après je suis bloquée pour dresser la partie du tableau qui concerne la variation de g(x)

Merci d'avance.

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Edité par camomilleG 1 novembre 2014 à 22:13:50

Salut,

Ma fonction est: g(x)= -3x3 + 3x2- 6x +1 Donc si je ne me suis pas trompée, ma dérivée doit bien être: g'(x)= -3x2+6x - 6

Pas loin, mais raté. Cela dit, ton discriminant sera effectivement négatif, donc g'(x) toujours négatif, ça c'est OK. De fait, si la dérivée de g est toujours strictement négative, que peut tu dire sur la variation de g ? Il n'y a pas de piège, ne cherche pas compliqué.

Je dirai qu'elle est toujours décroissante, car a est négatif, donc -infini à +infini : décroissant (désolé je ne sais pas faire les signe ici ...) 

Mais étant polynôme, la représentation graphique est bien une parabole donc elle forme un U ?

Mais étant polynôme, la représentation graphique est bien une parabole donc elle forme un U ?

Euh non, les polynômes du second degré ont une forme de parabole, mais pas ceux du troisième degré... Sinon, oui effectivement, c'est bien une fonction décroissante sur \(\mathbb R\) .

Okay merci ! Je pense que ça devrait aller ! Merci beaucoup Et sinon je viens de me rendre compte que mes fonctions sont ressortis sans les puissances ... Mais j'ai recalculé et je retrouve la même chose bonne journée à vous.

Et sinon je viens de me rendre compte que mes fonctions sont ressortis sans les puissances ... Mais j'ai recalculé et je retrouve la même chose

J'avais compris pour les puissances. Mais quand tu dérives \(-3x\^3\), tu n'obtiens pas \(-3x\^2\) ...

Ah ? Désolé je n'avais pas vu.... Je me suis trompée en écrivant ma fonction initiale ... C'est juste -x^3 donc normalement cela donne bien -3x^2. Merci de m'avoir montré cette erreur ... J'ai fait la même sur ma copie

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Edité par camomilleG 31 octobre 2014 à 18:31:41

C'est juste -x^3 donc normalement cela donne bien -3x^2

Oui, comme ça c'est bon.

En fait, j'ai un autre problème avec cet exercice et un autre qui suit. Je dois résoudre l'équation g(x), susmentionné et f(x) = -x^4/4 + x^3 - 3x^2 + x +2 Donc voilà, mon souci est de savoir comment on résout une équation du troisième degré, très clairement, le nom me dit quelque chose donc j'ai du le voir en cours, mais j'ai été très souvent absente l'an passée et maintenant, même en regardant mes cours, je ne réussis pas à tout comprendre. Donc je voulais solliciter de nouveau votre aide, je suis vraiment désolée de vous déranger .... Je me sens un peu bête là ... Mais en regardant sur internet, je n'ai pas compris un traître mot des explications .... Pour g(x), je dois résoudre l'équation: -x^3 + 3x^2 - 6x + 1 et pour f(x), je dois étudier les variations de f, donc j'ai ici dérivée la fonction et j'ai obtenu: -x^3 + 3x^2 - 6x +1 Je vous remercie d'avance.

\(g(x)\) n'est pas une équation, je suppose que ce que tu dois résoudre est \(g(x)=0\) ... Auquel cas, vu la teneur de tes questions, je suppose que tu es au lycée ? On ne va pas te demander la/les racine(s) exacte(s) (qui ont une sale gueule d'ailleurs ), mais une solution approchée. Tu as montré que la fonction est strictement décroissante, et tu as, je suppose, calculé les limites. Qu'est ce que tu peux en déduire sur le nombre de solutions réelles à l'équation \(g(x)=0\) ?

Pour \(f\), la dérivée que tu as calculée ne te rappelle pas furieusement quelque chose ?

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Edité par Anonyme 1 novembre 2014 à 22:33:10

Je suis en Terminale éco, je n'ai pas fait les limites ici ...  Mais en les calculant, je trouve des solutions qui ne me permettent pas vraiment d'avoir les racines, enfin je me suis peut-être, et sûrement, trompée ...

Pour g(x) tend vers +infini : +infini

Pour g(x) tend vers -infini : - infini

Pour f(x) tend vers +infini : - infini

Pour f(x) tend vers - infini : - infini

Et en ayant la dérivée de f(x) je me sens encore plus bête .... c'est la même fonction que g(x) ...

Pour g(x) tend vers +infini : +infini Pour g(x) tend vers -infini : - infini

Tu as inversé les deux. Par ailleurs, as tu entendu parler du théorème des valeurs intermédiaires ?

Nous avons fait un exercice mais je ne l'ai pas très bien compris ... J'ai noté en remarque: 

Si f est une fonction définie sur l'intervalle I, l'équation f(a) = k . 

Mais qu'est-ce que k ici ?

Si f est une fonction définie sur l'intervalle I, l'équation f(a) = k .

Il doit manquer un morceau, je pense. Le théorème des valeurs intermédiaires stipule que si \(f\) est strictement monotone (strictement croissante ou décroissante) et continue et change de signe sur un intervalle \(I\) , alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(I\) .

Cela se sent assez facilement si tu fais un graphique, la représentation d'une fonction continue croissante ou décroissante ne peut pas traverser l'axes des abscisses sans le couper.

Juste une question, pour g(x) lorsque vous calculez g(1) que trouvez vous ? Je trouve 3 et ma calculatrice trouve -3 ... désolé de vous déranger pour ces broutilles ... Je construis les 2 graphiques et je vous dis ce que j'en retire ! Merci encore

Avec \(g(x)=-x\^3 + 3x\^2 - 6x +1\) , je trouve \(g(1)=-1+3-6+1=-3\).

Ok donc pour g(x) appartient à l'intervalle [0;1], je peux utiliser ce graphique pour une question du type: montrer que l'équation g(x)=0 ? 

Parce que juste après on me demande de le donner à l'aide de la calculatrice .... Pensez-vous qu'on ait besoin d'un calcul ou bien il faudrait juste zoomer sur le graphique ?

Et pour f(x), j'obtiens 2 racines, la première appartient à l'intervalle [-1;0] et la deuxième [0;1] 

\(g(1) = -(1)^3 + 3\times (1)^2 - 6\times1 +1 = -1+3\times 1 - 6 +1 = -1 + 3 -6 + 1 = -7+4 = -3\) 

EDIT : Et voilà, c'est ça de pas rafraichir la page.

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Edité par Why not ? 2 novembre 2014 à 16:43:44

montrer que l'équation g(x)=0 ?

Ta phrase n'est pas finie, tu vas pouvoir montrer que l'équation g(x)=0 a une solution unique sur [0,1], effectivement.

Parce que juste après on me demande de le donner à l'aide de la calculatrice .... Pensez-vous qu'on ait besoin d'un calcul ou bien il faudrait juste zoomer sur le graphique ?

Tu as entendu parler de la méthode de Newton ?

La question est effectivement: montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique alpha appartient [0;1]

@dri1 a écrit:

Tu as entendu parler de la méthode de Newton ?

Pas du tout ...

La question est effectivement: montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique alpha appartient [0;1]

Et tu y arrives ? Je pense que tu as tout ce qu'il te faut pour avoir l'idée, par contre, si tu as un doute sur la rédaction, dis-le.

Pas du tout ...

Hmmm, c'est assez embêtant. Tu as déjà eu un exo de ce genre ?

Si je peux utiliser le graphique, je peux écrire:

D'après la représentation graphique de la fonction g(x), on peut en effet voir que la courbe de la fonction admet une solution pour g(x)=0.

Et dans ce cas là, je reproduis le graphique.

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Non, je ne pense pas .... Ce que nous avons pu faire qui ce rapproche de celui-ci serait éventuellement une conjecture pour interpréter un résultat. On calcule les racines de la dérivée afin d'obtenir la(les) solution, mais généralement on a une dérivée polynôme avec un discriminant positif ce qui n'est pas le cas ici

Je pense que l'idée est de te faire utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Un dessin n'est pas une preuve.

Non, je ne pense pas ....

Dans ce cas, je ne pense pas qu'on t'en veuille si tu te contentes de zoomer avec ta calculatrice jusqu'à arriver à une solution approchée.

@dri1 a écrit:

Parce que juste après on me demande de le donner à l'aide de la calculatrice .... Pensez-vous qu'on ait besoin d'un calcul ou bien il faudrait juste zoomer sur le graphique ?

Tu as entendu parler de la méthode de Newton ?

À son niveau (lycée) on ne s'encombre pas d'une méthode précise pour donner une valeur approchée d'une solution d'équation à l'aide de la calculatrice.

Ce qui est généralement attendu des élèves, c'est juste qu'ils zooment sur le graphique, point barre.

À son niveau (lycée) on ne s'encombre pas d'une méthode précise pour donner une valeur approchée d'une solution d'équation à l'aide de la calculatrice.

J'ai appris la méthode de Newton en première S, fallait coder la boucle sur sa calto. L'un de mes premiers programmes, j'en suis encore tout ému.

Peut-être qu'ils ont vu la méthode par dichotomie, et encore, en T°ES...

Donc pour la première question en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

La fonction g(x) est continue sur l'intervalle [0;1] (on nous a préalablement demandé le calcul de g(0) et g(1)) et strictement décroissante. La fonction change de signe sur l'intervalle donc elle admet une solution unique, alpha.

Pensez vous que cela suffit?

Merci Why not? ahah, mais effectivement nous n'avons pas vu la dichotomie ....

Mais je pense que je vais me contenter du graphique pour la suite