Oui evidement en 4ème exponentielle et logarithme c'est du chinoi.

Exponentielle et logarithme sont sur un radeau
ln : merde on dérive !!
e : arf je m'en fou moi ca me fait rien.


Blague du jour bonjour (fallait la faire)

Neoterraneos

Citation

Par idenfication e(ylna) = (e(lna))^y

Faux, j'ai déjà dit que tu n'avais pas le droit d'utiliser ça :

Citation

pour ce dernier facteur, tu utilises implicitement dans ta preuve le fait que exp(y*ln(a)) = exp(ln(a))^y, ce que tu n'as pas le droit de faire puisque c'est précisément ce qu'on ne sait pas encore (ce que signifie (...)^y avec y réel).

Par ailleurs il y a des preuves dans le reste de la preuve (ce n'est pas e((b-y)lna) + e(ylna) mais e((b-y)lna) * e(ylna)), mais ce n'est pas la peine de re-poster pour les corriger : ça ne change rien au fait qu'elle est, à mon avis, fondamentalement fausse (comme je l'ai montré dans ton exemple particulier, et comme je l'ai expliqué dans le cas général plus haut).

Aravis

Citation

ln(a^b) = b*ln(a) parce que c'est comme ca ! C'est une propriété du logarithme qui se demontre mais je ne sais plus comment.

Wow. Je suis impressionné par ta rigueur mathématique. "C'est comme ça !", c'est une très jolie preuve.

pandore75

Tu fais bien de soulever le petit piège dont j'ai parlé. Mais il pourrait dire "on considère a>0, est-ce que ma preuve marche ?". L'important c'est qu'elle est fausse même pour a>0.

Nanoc

Tu utilises exp(ln(a)*b) = exp(ln(a))^b, et pour cela tu utilises implicitement la formule que tu veux montrer, car b est réel.
Si tu ne me crois pas, essaie de démontrer ta formule (exp(x*y) = exp(x)^y).

Cyprien_

Ta preuve est subtilement fausse.
Ta première étape est "a^b = e^(ln(a))^b". On a l'impression que c'est juste parce que l'exponentielle est la réciproque du logarithme.
Mais en fait tu ne peux utiliser que "a^b = exp(ln(a))". Passer de exp(ln(a)) à e^ln(a) demande d'utiliser la propriété à montrer.

SpotZup

Dans les nombres complexes, c'est un peu plus compliqué. En effet, on peut facilement définir une exponentielle exp : C -> C, qui "recouvre" l'exponentielle réelle.
Par contre, on ne peut pas vraiment définir de logarithme sur C (pour des raisons assez délicates et jolies). Du coup, on ne peut pas simplement généraliser la formule "a^b = exp(bln(a)).

Tu remarques que même sur R, on n'a définit le logarithme que sur les réels strictement positifs. On pourrait faire pareil, en prenant un logarithme sur C privé de tous les réels négatifs.

On pourrait donc définir une notation a^^^b sur une partie de C. En pratique j'ai toujours vu les gens se contenter de l'exponentielle complexe, ou de la définition du simple ^ sur C.

Citation

Moi ça me tracasse vraiment cet accro, finalement est-ce que ce sont deux fonctions distinctes les a^x et a^^x ?

Ce sont deux fonctions distinctes. Elles sont définies dans des univers totalement différents, et la deuxième a besoin de la première pour exister. Je l'ai expliqué plus haut.

Mais on les "confond" parce que ça nous arrange au point de vue des notations et de la simplicité : personne n'a envie de s'embêter avec les petits détails du genre quand on veut juste faire des calculs.

L'avantage de cet amalgamme est donc une plus grande simplicité (moins de notions différentes). L'inconvénient est la relative confusion que ça crée : les gens ont du mal à distinguer les deux, et du coup ça crée plein de preuves fausses comme tu peux le voir sur ce topic.

Je pense que pour montrer de manière claire et irréfutable ce que tu demandes, il faut que j'avance encore dans mes études

Je pense que tu ne peux pas le montrer, et j'ai expliqué pourquoi. Si j'ai raison, tu peux avancer autant que tu veux, tu ne le montreras pas.

Pour voir ça plus clairement (parce que mes explications étaient un peu fumeuses), réfléchis à la question suivante :
"Si on ne sait pas que a^b = exp(bln(a)) (par exemple si on essaie de prouver cette 'formule'), quel est le sens de la notation a^b ?".

Citation : bluestorm

"Si on ne sait pas que a^b = exp(bln(a)) (par exemple si on essaie de prouver cette 'formule'), quel est le sens de la notation a^b ?".

Aucun sens : c'est pourquoi on a cette définition de la puissance.

Merci pour tes compliments sur ma rigueur mathématique je le prend bien pour moi les math c'est un outil pas une science. regarde en physique si on s'enmerde avec la rigueur des math

Hmm. En physique théorique, certainement.

En physique non-théorique (je ne sais pas trop ce que ça veut dire. Parler de la physique du lycée comme si c'était de la physique, c'est probablement aussi douteux que parler des maths de lycée comme si ça avait quelque chose à voir avec la pratique des mathématiciens), j'imagine qu'on a d'autres trucs auxquels il faut faire très attention.

Globalement, les bons physiciens font généralement des efforts du point de vue de la rigueur mathématique. En tout cas, dans presque tous les domaines de la physique il y a eu quelqu'un qui a vérifié un jour que tout ce qu'ils faisaient était vérifiable rigoureusement, et qui a dit aux autres "c'est bon les gars, on n'a plus besoin de s'inquiéter de ça pour le moment".
Tout comme pour l'exponentielle, les gens qui font des stats n'ont pas à s'inquiéter des différences entre la mise en puissance entière et réelle.

Je ne suis pas au lycée
Sinon oui pour faire décoler des fusées je pense qu'il faille un minimum de rigueur c'est certain mai globalement la physique ne s'emerde pas avec des rédaction compliquée pour le plaisir de la redaction. En physique en s'amuse pas a calculer les domaines de def les limites en un point et tout le bordel pour prolonger par continuité on prolonge point barre. C'ets ca que je veux dire. Evidement comme tu le dis si bien y'a un type avant qui a dis c'est bon les gars vous pouvez y aller a l'arrache ca marche quand meme

Citation

En physique en s'amuse pas a calculer les domaines de def les limites en un point et tout le bordel pour prolonger par continuité on prolonge point barre. C'est ça que je veux dire.

J'ai des doutes. Je ne connais pas grand chose à la physique, mais il me semble que par exemple quand on s'intéresse aux champs, on fait pas mal attention à la continuité ou aux justifications (par exemple quand on passe du modèle volumique à un modèle surfacique).

Bluestorm, je crois que tu te trompes (si si ça arrive).

On peut tout à fait montrer que ln(a^b) = b ln(a). Comme je l'ai fait plus haut.

Tu as crititqué l'étape ou je passe de exp(a*b)=exp(a)^b, mais ceci se démontre en utilisant la notation en série de Taylor de l'exponentielle.

Aravis a raison d'une certaine manière (je fais de la physique aussi). Mais comme l' a dit bluestorm, y a un mec qui l'a vérifié une fois et de plus en physique toutes les grandeus obéissent à des fonctions continues (omettons la quantique SVP) sur R ce qui ne posent jamais les problèmes que tu soulèves.

Citation

Tu as crititqué l'étape ou je passe de exp(a*b)=exp(a)^b, mais ceci se démontre en utilisant la notation en série de Taylor de l'exponentielle.

Que signifie exp(a)^b, quand b est réel ?

Ça m'intéresserait de voir ta preuve (quitte à rédiger les calculs chiants sur les sommes dans une page à part et juste mettre l'URL, parce que bof exp(a)^b en Taylor je le sens mal ).

Citation : bluestorm

Citation

En physique en s'amuse pas a calculer les domaines de def les limites en un point et tout le bordel pour prolonger par continuité on prolonge point barre. C'est ça que je veux dire.

J'ai des doutes. Je ne connais pas grand chose à la physique, mais il me semble que par exemple quand on s'intéresse aux champs, on fait pas mal attention à la continuité ou aux justifications (par exemple quand on passe du modèle volumique à un modèle surfacique).

Oui on fait gaffe a pas faire de connerie.
Tiens le prof de math nous avais donnée l'exemple du prolongement par continuité (c'est pour ca que je l'ai repris) Dans l'exo on avais un fonction tordu a prolonger (ou pas) et apres il nous dis que cette fonction etait une fonction qui décrivais la lumiere lors de la difraction. En math le point qui n'existe pas y'a pas de lumiere puisuqe la fonction n'existe pas pourtant y'a bien de la lumiere, les physicin ne s'emerden pas ils prolongent la fonction comme ca le model est bon

Aussi en eletricité quand on utilisais les complexe pour décrire la resonnance en intensité dans un circuit en regime sinusoidal forcé on avait le choisx entre pi et -pi or on devais avoir de la continuité donc on prenais -pi sinon c'etait pas continu. Je trouve ca un peu bourrin mais ca a le merite d'etre pas trop prise de tete pour rien

Citation : bluestorm

Cyprien_

Ta preuve est subtilement fausse.
Ta première étape est "a^b = e^(ln(a))^b". On a l'impression que c'est juste parce que l'exponentielle est la réciproque du logarithme.
Mais en fait tu ne peux utiliser que "a^b = exp(ln(a))". Passer de exp(ln(a)) à e^ln(a) demande d'utiliser la propriété à montrer.

Désolé si je vais paraître lourd, mais je ne veux pas insister, juste comprendre.
ln n'est pas la réciproque de exp ? Tu n'as pas : a = e^(ln(a)) pour tout réel a strictement positif ?

Ensuite, "Passer de exp(ln(a)) à e^ln(a)". Ce n'est pas exactement la même chose exp(x) et e^x ? Il me semblait que c'était juste une histoire de notations...

Pour moi, il n'y a qu'un seul truc que je n'ai pas démontré dans tout ça, c'est le fait que exp(a)^b = exp(a*b), et ça, d'accord, je n'en sais rien...
Donc voilà, c'était juste pour savoir s'il y avait encore autre chose qui clochait et être sûr de bien comprendre .

si j'ai bien compris bluestorm, écrire e^ln(a) c'est mettre un réel (e) à une puissance réelle (ln(a)) ce que tu ne peux pas faire puisque cela utilise la propriét que l'on essaie (en vais selon bluestorm, et ses arguments me paraissent plutôt bons) de montrer

exp() est une fonction qui est définie (en tout cas, c'est comme ca qu'on me l'a définie) comme la limite d'une somme faisant intervenir des exposant entiers qui eux sont définis par la théorie des groupes

voila, c'est égal à condition que tu saches ce que c'est que d'élever e à une puissance réelle

Citation : bluestorm

Je pense que tu ne peux pas le montrer, et j'ai expliqué pourquoi. Si j'ai raison, tu peux avancer autant que tu veux, tu ne le montreras pas.

Pour voir ça plus clairement (parce que mes explications étaient un peu fumeuses), réfléchis à la question suivante :
"Si on ne sait pas que a^b = exp(bln(a)) (par exemple si on essaie de prouver cette 'formule'), quel est le sens de la notation a^b ?".

Comme vu en quatrième : a*a*a*a*a*a*a*a*...a
Si b réel alors a*a*a*a*a*a*...*a*(a^y) (y<1)

Je pense que cette formule a été démontrée par les mathématiciens, donc il suffit de retrouver leur démonstration.

Précision : Quand je dis e(lna), c'est exp(ln(a))

Bonjour à tous,

Je passe pour dire que ça dérive pas mal sur les derniers posts...

Donc, je voulais parler d'une petite expérience personnel :

J'étais en CM1, et comme tout CM1 qui est bon en Math, je me faisais ch***.

J'ai donc demander à mon frère qui était à cette époque en 4ème de m'apprendre des choses.
Il m'a ainsi appris Pythagore et Thalès.
Certes la racine carré fut un petite obstacle pour Pythagore, mais j'ai eus vite fait de comprendre.

Je ne pense pourtant pas être un surdoué (loin de là), mais juste un élève normal qui ne baisse pas les bras devant un problème inconnu.

Encore une petite anecdote :

Je programmais sur ma calculatrice Ti, en seconde.
Je faisais un petit jeu, et comme le nombre de variable est plutôt limité (26 variable max : A...Z) sur la vieille Ti que j'avais, j'ai voulu compresser mes donnés.
Bref j'ai eu besoin de savoir combien j'avais déjà mis de chiffre décimal dans ma variable.
J'ai regarder toutes les fonctions qu'ils y avaient dans ma calculatrice, et j'ai trouvé le "log".
En gros on avait : nbre de chiffres = partie entière(log N) +1
Pour N>0.

Actuellement je suis en terminale, je n'ai toujours pas vu les logs et pourtant je les ai étudié rapidement, j'ai compris ce que faisais la fonction.


Donc, pour tous ceux qui dise "il est en quatrième, ça le dépasse", vous ne savez pas qui il est réellement. Le système éducatif Français est largement trop mal fait sur ce point : on ne peut pas tous digérer des exponentiels à dix ans, mais certains le peuvent. On ne peut pas tous digérer du Victor Hugo à dix ans, mais...

C'est pas une question de compréhension. Il a pas vu les expo ni les logarithmes. Il pourrais peut etre (ou pas) comprendre lais faudrais lui expliqué c'est tout.

Citation : Neoterranos

Comme vu en quatrième : a*a*a*a*a*a*a*a*...a
Si b réel alors a*a*a*a*a*a*...*a*(a^y) (y<1)

J'avoue j'ai pas fait maths spé, mais c'est pas contradictoire ce que tu dis ? paske si ton y est inférieur à un, soit il est positif et dans ce cas c'est soit 0 (donc ça sert pas à grand chose), soit c'est réel et dans ce cas, tu me le définis comment ? Si y est un entier négatif, hum, ça donne du 1/, je sais pas si c'est le bon résultat. Et si c'est un réel négatif, même problème que pour un réel positif.

OujA: C'est cool, t'as vu Pythagore en primaire, chapeau t'es über intelligent. tu n'attendais que ça, avoue ?
Là c'est différent, il n'a tout simplement pas les bases pour savoir C'est comme je sais pas, vouloir construire une voiture sans en connaître les composants.

Zulon> Le problème quand on veut savoir quelque chose, c'est que l'on ne sait pas ce que l'on doit connaitre pour pouvoir comprendre ce que l'on veut savoir...

Je ne voulais pas te faire penser que j'étais intelligent, mais plutôt qu'il y a beaucoup d'idiot en France qui se dise : "je n'apprend qu'à l'école, pas ailleurs. Ce que je ne connais pas m'est totalement inutile."

C'est ce comportement qui me révolte.
Donc je pense que quelqu'un qui veut savoir ce qu'il ne sait pas a toujours un certains mérite, quelque soit ses capacités.

A mon avis tous les visiteurs du sdz sont des personnes qui veulent aller plus loin ou plus vite que le programme scolaire.

Citation : Zulon

il n'a tout simplement pas les bases pour savoir

Pourquoi ceci : " "?

http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/puissanceA.html

Si vous avez le temps

On est sensé commenter ?

C'est assez bien fait, joli et tout. Comme je l'ai dit, il pose la formule "x^a = exp(x.ln(a))" comme une définition, il ne la prouve pas.

Il y a cependant quelques détails qu'il pourrait corriger :

Il fait une différence entre les exposants positifs et les négatifs, en donnant pour les négatifs : 1/x * 1/x * ... * 1/x = x^-n = exp(-n.ln(x)).
Cette différence est inutile : il suffit de dire que
1/x * ... * 1/x = (1/x)^n = exp(n*ln(1/x)), et on retrouve la bonne formule en utilisant ln(1/x) = -ln(x) : exp(n*ln(1/x)) = exp(n*(-ln(x)) = exp(-n.ln(x)) = x^-n.

Citation

Tout prof de Maths de quatrième et toute calculatrice vous diront que x0 est toujours égal à 1.
On pourrait croire qu'il s'agit là d'une vérité illégitime et autoritaire.
En fait, il ont parfaitement raison car ils appliquent la définition de la puissance réelle.

Cette explication est fausse. En réalité, la définition de x^0 vient directement de la théorie des groupes, et n'a absolument pas besoin de l'exponentielle pour être logique et justifiée.

En effet, quand on manipule des opérations comme + et *, il existe une notion importante qui est celle de l'élément neutre : celui qui, appliqué à un élément, ne le change pas. Par exemple 0 est le neutre de + car on a toujours 0 + x = x + 0 = x.
La définition de la puissance (et pas seulement sur les nombres naturels) utilise l'élément neutre : x^0 = le neutre de la multiplication, par définition, de même que x*0 = 0, le neutre de l'addition.

De façon analogue, quand on écrit "la somme de tous les éléments de l'ensemble A", cette somme vaut 0 quand A est vide, parce que 0 est le neutre de +. Le produit de tous les éléments de A vaut alors 1.

Citation : bluestorm

Citation

Tout prof de Maths de quatrième et toute calculatrice vous diront que x0 est toujours égal à 1.
On pourrait croire qu'il s'agit là d'une vérité illégitime et autoritaire.
En fait, il ont parfaitement raison car ils appliquent la définition de la puissance réelle.

Cette explication est fausse. En réalité, la définition de x^0 vient directement de la théorie des groupes, et n'a absolument pas besoin de l'exponentielle pour être logique et justifiée.

Non, c'est pour prouver qu'un ensemble muni de la loi * est un groupe qu'il faut un élément neutre pour la multiplication, ce n'est donc pas parce que c'est un groupe. Je veux dire que le fait que x^0=1 sert à démontrer que l'ensemble (des puissance de x par ex) est un groupe et tu ne peux pas justifier que x^0=1 en utilisant ce que tu veux démontrer...

Et puis ça t'arrives souvent de répondre à un 4éme curieux qui veut connaitre le programme de 1ére S en lui sortant celui de math sup?

Je ne comprend pas trop le problème. Je ne veux pas montrer que quelque chose en particulier est un groupe, je dis que les considérations sur "dans les cas limites où on ne sait pas quoi choisir, on prend souvent le neutre de l'opération considérée pour que ça reste cohérent" proviennent de l'étude des ensembles selon leur structure de groupe.

Par ailleurs une justification n'est pas une démonstration, et on peut "justifier" une définition avec des théorèmes qui utilisent cette démonstration pour être démontrés : on dit "on a choisi cette définition parce qu'elle permet de faire telle ou telle chose".

Par exemple, pour revenir à l'exponentielle, il y beaucoup de fonctions qui vérifient f'(x) = f(x) pour tout x réel. Si on a choisi de distinguer l'exponentielle parmis cet ensemble de fonction, c'est parce qu'elle a des propriétés intéressantes (par exemple parce qu'elle est cohérente avec la mise en exposant, puisque justement exp(0) = 1). On peut justifier ce choix avec ces propriétés, même si ces propriétés dépendent de la définition de l'exponentielle.

Y'a plus simple pour x^0 = 1

(x^m)/(x^m) = 1 (car le numérateur est égal au dénominateur) (pour x != 0)
Loi des puissances x^(m-m)=1
x^0 = 1...

Mais là n'est pas le débat, si un prof sur son site dit que c'est acquis, c'est sans doute que la démonstration réelle, car il en existe une est compliquée...

Je poserai la question à mon prof de maths si j'y pense

Encore une fois, ta preuve est douteuse, puisque la définition de l'opération ^ dépend de sa valeur en 0, et que donc tu ne peux pas utiliser de "loi des puissances" pour montrer la valeur de x^0.

Mais effectivement comme tu le dis, la valeur x^0 = 1 est bien pratique (ou plus exactement c'est en gros la seule imaginable en algèbre) parce qu'elle permet d'avoir la "loi des puissances" (que l'on peut voir comme un morphisme de groupes).

Ma démonstration s'appuie sur le fait qu'un numérateur égal à un dénominateur vaut 1 et que m^x/m^y = m^(x-y)

Mais on peut aussi faire :
x^0 = x^(0+0) = x^0*x^0
On simplifie par x^0 de chaque côté et on a x^0 = 1

C'était notre prof en 4è qui nous avait filé ces méthodes.

<math>\(\forall x \in \Re^{+*}\,x^0 = e^{0\,lnx} = e^0 = 1\)</math>

Ca le fait comme démo ? Comme dirait mon prof il suffit d'appliquer des démonstrations présises .

Citation : Neoterranos

Mais on peut aussi faire :
x^0 = x^(0+0) = x^0*x^0
On simplifie par x^0 de chaque côté et on a x^0 = 1

C'était notre prof en 4è qui nous avait filé ces méthodes.

Ca c'est dangereux par contre, car pour simplifier par x^0, il doit être non nul, or dans cette démonstration, tu cherche justement à prouver qu'il est différent de 0 (puisqu'égal à 1).

Citation : bluestorm

Je ne comprend pas trop le problème. Je ne veux pas montrer que quelque chose en particulier est un groupe, je dis que les considérations sur "dans les cas limites où on ne sait pas quoi choisir, on prend souvent le neutre de l'opération considérée pour que ça reste cohérent" proviennent de l'étude des ensembles selon leur structure de groupe.

En fait pour avoir une structure de groupe, il faut avoir le neutre. Donc je disais juste que l'existence du neutre ne se démontre pas avec la théorie des groupes, puisqu'elle en est une hypothése.

Donc le fait que x^0=1 ne vient pas de la théorie des groupes, par contre c'est une puissance 0éme donc on la calcule simplement en utilisant la définition des puissances comme l'a fait Aravis.

Parfois, il y des règles que l'ont ne peut pas prouver : x=y=z alors x=z.

C'est un principe.

Ici, pour les puissances, je ne sais pas, mais c'est probable.

D'autre part, la notation <math>\(\mathbb{R}^{+*}\)</math> et incorrecte, il faut écrire <math>\(\mathbb{R}_+^*\)</math>.
(c) victor