Montrer que si a²-b² est premier, alors les entiers a et b sont consécutifs.(indication: deux nombres entiers sont consécutifs s'ils s'écrivent sous la forme n pour le premier nombre et n+1 pour le deuxieme nombre).
J'ai cherché pendant quelque temps et j'ai pas trouvé.
Vu le sens de ton truc, on suppose que a est plus grand que b (sinon on a a² - b² négatif, et ça revient à étudier b² - a², donc on peut toujours supposer que le premier est plus grand).
Tu peux donc écrire a sous la forme b+n, avec n positif. Développe (b+n)² - b², et essaie de trouver une condition sur n qui fait que (b+n)² - b² est premier ou pas (indice : si tu arrives à factoriser le nombre, pour qu'il soit premier il faut qu'un des facteurs soit égal à 1).
Vu le sens de ton truc, on suppose que a est plus grand que b (sinon on a a² - b² négatif, et ça revient à étudier b² - a², donc on peut toujours supposer que le premier est plus grand).
Tu peux donc écrire a sous la forme b+n, avec n positif. Développe (b+n)² - b², et essaie de trouver une condition sur n qui fait que (b+n)² - b² est premier ou pas (indice : si tu arrives à factoriser le nombre, pour qu'il soit premier il faut qu'un des facteurs soit égal à 1).
j'aurais utilisé b+1 au lieu de b+n moi perso puisqu'ils doivent être consécutif non ?
Bah justement, on veut montrer qu'ils doivent être consécutifs, on le sait pas à priori.
Si tu montres pour n=1 et que tu dis "ça marche !", tu n'as rien prouvé du tout, vu qu'il faut montrer que ça marche pas pour n > 1. D'ailleurs, dans beaucoup de cas, tu as n=1 et pourtant ça ne marche pas.
Bref, quelle que soit la méthode employée (celle de Macleto est plus rapide vu que t'obtiens la factorisation direct), il vaut mieux commencer avec un n quelconque.
a et b sont deux nombre entiers naturels tels que a > b
Si a²-b² est premier alors il admet exactement deux diviseurs distinct : 1 et lui même. Or, a²-b² = (a+b)(a-b) donc ya deux possibilités :
1er cas :
a - b = 1 alors a = 1+b et les entiers a et b sont consécutifs.
2eme cas : (facultatif )
Si a + b = 1 alors les seules possibilité sont : (a = 0 et b = 1) et (a = 1 et a = 0)
- a = 0 et b = 1 est en contradiction avec l'hypothese a > b.
- a = 1 et b = 0, dans ce cas a et b sont consécutifs
Alors grace et se petit paragraphe, on prouve que si (a²-b²) est premier alors a et b sont consécutifs.
Déjà, on ne considère pas 1 comme premier, donc on peut supposer que a et b sont strictement positifs : le deuxième cas n'est pas nécessaire, à mon avis.
Mais surtout, je pense que tu aurais pu te contenter de donner une indication, le chemin vers la réponse, au lieu de tout rédiger à sa place. Je crois qu'il souhaitait juste de "l'aide".
Je voulais dire que l'étude de ton "2e cas" n'est pas vraiment utile : si a² - b² est premier, on suppose a² - b² supérieur à 1, donc a+b aussi.
edit : pour ma part, je sais pas s'il est nécessaire de supprimer la solution, qui est d'ailleurs bien rédigée. Je disais juste que moi, je ne l'ai pas mise. Ceci dit, cette question revient souvent, et je défend souvent la position inverse (par exemple sur le forum PHP j'ai souvent l'habitude de balancer le code direct).
Bonjour ! On a fait l'hypothèse que \(a^2-b^2\) est premier et que \(a>b\) (le plus grand des deux, on l'appelle a). Supposons que, de plus, \(a^2-b^2 > 1\).
On sait que \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \). S'il est premier, il y a donc un des deux facteurs qui vaut 1, et l'autre qui vaut \(a^2-b^2\). Plus précisément : c'est le plus petit des deux qui vaut 1. Donc c'est \(a-b\) (ainsi les entiers a et b sont bien consécutifs). Et le plus grand des deux, \(a+b\), est > 1 (puisqu'il est égal à \(a^2-b^2\) qui est supposé >1).
Donc pour éliminer le cas où a+b=1 et a-b=a²-b², sauf mauvaise interprétation de ma part, tu te sert du fait que a-b<a+b pour comparer les deux facteurs et décréter celui qui est forcément égale à 1 et celui qui est strictement supérieur à 1...
Mais a-b<a+b n'est vrai que si b est strictement positif, pourquoi serait ce le cas ici?
Me manque un bout de raisonnement implicite je crois....
Par définition, un nombre premier est positif, c'est pourquoi j'avais supposé que la propriété annoncée au départ était valable pour a, b entiers naturels. Mais en effet ils pourraient être négatifs, eux.
Si a²-b² est premier, il est positif, donc |a| > |b|.
1er cas : a et b positifs. Déjà vu (et le fait que a>b n'a pas besoin d'être une hypothèse : c'est obligatoire pour que |a| < |b|).
2è cas : a et b négatifs. On a : a²-b² = (a+b)(a-b) où (a+b) et (a-b) sont négatifs. Le "moins négatif" des deux est a-b, qui vaut donc forcément -1. Donc b-a vaut 1 : ils sont consécutifs.
3è cas : a et b sont de signe contraire, et c'est a qui est positif. Dans ce cas, a-b est positif, du coup a+b aussi, mais comme b est négatif, on a : 0 < a+b < a-b. Donc c'est a+b qui vaut 1.
4è cas : a et b sont de signe contraire, et c'est b qui est positif. Dans ce cas, a-b est négatif, du coup a+b aussi, mais comme a est négatif, on a : a-b < a+b < 0. Donc c'est a+b qui vaut 1. Donc c'est a+b qui vaut -1.
C'est donc seulement lorsque a et b sont de même signe qu'ils sont forcément consécutifs. Je soupçonne que dans le problème de départ on supposait a et b entiers naturels.
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