Bonjour,

Qu'as-tu trouvé pour des petites valeurs de \(n\) (comme conseillé dans ton exercice) ?

Si tu ne t'es pas trompé dans le calcul pour n=1,2,3,4 ou même plus, tu verras que la forme générale de \(u_n\) ne peut pas être de la forme \(u_0\times q\) (et encore moins avec \(q\) constant). Tu as dû confondre avec la raison d'une suite géométrique dont le terme général s'écrit sous la forme \(u_n=u_0\times q^n\) ; \(q\) s'appelle effectivement la raison, mais dans cet exercice, ta suite n'est pas une suite géométrique.

Réécris bien les premiers termes en fonction de \(u_0\), tu devrais trouver la formule. Si ce n'est pas le cas, poste ton calcul des premiers termes, et on avisera

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Edité par sylpro 1 juillet 2015 à 20:28:39

Ah d'accord j'ai compris mon erreur. Je suis parti du principe que Un = U0 * q car je m'étais dit que c'était une suite géométrique.. Or ce n'est pas le cas. Et du coup je bloquais car je ne voyais pas comment exprimer Un en fonction de U0 et n puisque je ne trouvais pas la formule en fonction de n. Il fallait juste partir de la formule de l'énoncé.

U1 = U0+1 = (U0)² 
U2 = (U1)² = ((U0)²)² 
U3 = (U2)² = (((U0)²)²)² 
U4 = (U3)² = ((((U0)²)²)²)² 

On remarque que Un = (U0)²^n 

Ca se démontre par récurrence 

Montrons par récurrence la propriété suivante Pn : Un = (U0)²^n pour n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Initialisation

Pour n=1, on a : 
U1 = (U0)^(2^1) = (U0)² et U1 = U0² 

Heredite

Supposons qu'il existe un entier naturel n supérieur ou égal à 1 fixé et quelconque de telle façon que Pn soit vraie, soit :  Un = (U0)^(2^n) qui est l'hypothèse de récurrence.

Montrons que Pk+1 est vraie :

Un+1 = (Un)² (énoncé) 
= ((U0)²^n)² = U0^a (HR) 
avec a = (2^n)*2  = 2^(n+1) 

Nous avons montré que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie : la propriété P est héréditaire.

Conclusion 

La propriété p est vraie au rang n=1 et elle est héréditaire. D'après l'axiome de récurrence, nous avons Pn qui est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.


MERCI

EDIT :: sylpro, j'ai BIEN rédigé ma récurrence

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Edité par Wearefriends 1 juillet 2015 à 22:48:59

Parfait ! Enfin presque, la rédaction de la preuve par récurrence ne me plait guère, mais je pinaille, je pinaille "On montre, par récurrence sur \(n \in \mathbb N\), que la propriété \(P_n\) etc, etc...")

Voila maintenant c'est parfait (enfin j'espère, j'attends tes suggestions )

Merci encore

A part ça, sur un autre forum, quelqu'un a fait une autre méthode (mais avec U0 > 0) :

"disdrometre

on pose Vn= ln(Un) 

V(n+1) = ln(U(n+1)) = ln Un² = 2lnUn = 2 Vn 

Vn est une suite  géométrique de raison 2. 

donc Vn = 2^n V0 

V0= ln(U0) 

or Un= exp(Vn) donc Un =exp(2^n ln(U0)) 

or 2^n ln(U0) = ln(U0^(2^n)) 

d'ou Un = U0^(2^n)"

Lien : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-182771.html#msg1561071

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Edité par Wearefriends 2 juillet 2015 à 17:37:52

La fonction ln permet de "transformer des multiplications en addition et des puissances en multiplications". C'est également une méthode utilisée de manière numérique pour faire des calculs rapidement, à condition également de connaître ses tables de logarithmes. Le problème avec cette dernière est qu'elle n'est définie que pour les réels strictement positifs.

Wearefriends a écrit:

>Un = (U0)²^n

Méfiance, avec cette notation. Ici je pense qu'on se comprend tous et que sur ton papier tu n'as pas fait l'erreur, mais fondamentalement, si t'écris ça, t'écris \((u_0\,\^2)\^n\) et pas \(u_0 \,\^{2\^n}\) ce^qui^n'est^pas^fondamentalement^la^même^chose^et^oui^je^fais^chier^pour^rien

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Edité par Grob' 4 juillet 2015 à 1:49:37

J'arrive pas à lire après "fondamentalement la même chose"

BunshinKage a écrit:

J'arrive pas à lire après "fondamentalement la même chose"

"et oui je fais chier pour rien"

Oui oui je sais que c'est différent mais je ne vois pas où j'ai écrit cela puisque justement je n'arrivais pas à mettre le n en exposant. J'ai, à chaque fois, mis un petit "^" (il me semble)

Message du premier juillet à 20h34, "heredite", paragraphe 1 :

"[...]soit :  Un = (U0)^(2^n) qui est l'hypothèse de récurrence.[...]