Bonjour,

J'ai dans un exercice une question où je dois trouver la raison <math>\(q\)</math> d'une suite géométrique. Cependant, après pas mal de vaines tentatives, je n'ai toujours pas réussi.

Voilà l'énoncé :
Soit la fonction <math>\(f : x \mapsto \frac{x-4}{x+2}\)</math> définie sur et à valeur dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>.
Et, <math>\(f(x) = x \Leftrightarrow x \in \left\{\alpha, \bar\alpha \right\}\)</math> avec <math>\(\alpha = \frac{-1+i\sqrt{15}}{2}\)</math>.
On défini alors la suite <math>\((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> tel que <math>\(x_0 = 2\)</math> et <math>\(\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = f(x_n)\)</math>.

Vient alors la question épineuse :
Trouver la raison <math>\(q\)</math> de la suite <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> avec <math>\(u_n = \frac{x_n-\alpha}{x_n-\bar\alpha}\)</math>.

Dans le but de savoir vers quoi arriver, je trouve informellement <math>\(q = \frac{5+i\sqrt{15}}{-5 +i\sqrt{15}}.\)</math> Cependant, je n'arrive pas à en faire la démonstration. J'ai bien essayé de forcer la chance en factorisant par <math>\(u_n\)</math> dès le début mais c'est sans résultat. Impossible d'obtenir une expression de la forme <math>\(u_{n+1} = qu_n\)</math>.

Si vous avez des pistes qui pourraient me mettre sur la voie, je suis preneur, en attendant je continue à chercher.

Merci d'avance et bonne journée.
Lithrein.

La technique la plus utilisée, en général, c'est de calculer <math>\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)</math>.
Si tu trouves <math>\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = q \in \mathbb{R}\)</math>, alors la suite <math>\((u_n)\)</math> est géométrique de raison <math>\(q\)</math>.

Essaie de faire le calcul, ça ne devrait pas bloquer !

Merci Doulilos,
Cette technique est en effet censé marcher (tout du moins si <math>\(u_n \neq 0\)</math>) mais là ça ne marchait pas vraiment jusqu'à ce que je remplace <math>\(\alpha\)</math> par <math>\(f(\alpha)\)</math> ce qui semble fonctionner mais je trouve une autre raison :


Et ça a l'air d'être ça mais ça m'étonne un peu quand même.