Bonjour à tous.

J'ai un exercice dans lequel je dois trouver le minimum de la fonction

<math>\(f(x)=\frac{1}{5}\sqrt(x^2+4)+\frac{1}{3}\sqrt(x^2-12x+37)\)</math>

Pour revenir à l'exercice, je dois déterminer le minimum graphiquement.
Seulement c'est bien joli mais j'aimerais bien le retrouver par le calcul.
Pourriez-vous me dire si c'est faisable avec un niveau première (j'espère!) et me donner un petit indice pour que je trouve un petit peu tout seul.

Merci!

Oui c'est possible, mais en fait non:

• tu dérives la fonction tu trouves <math>\(f'(x)=\frac{x}{5\sqrt{x^2+4}}+\frac{x-6}{3\sqrt{x^2-12x+37}}\)</math>
• tu sais qu'il existe un minimum, donc tu cherches à résoudre <math>\(f'(x)=0\)</math>
• tu fais des calculs et tu trouves <math>\(9x^2(x^2-12x+37)=25(x-6)^2(x^2+4)\)</math>, sauf erreur
• tu développes et tu as une équation du quatrième degré
• tu utilises la méthode de Ferrari et tu touves la solution

Une méthode plus rapide: tu confies le calcul à Wolfram|alpha (dans root tu appuies sur exact form), et tu constates que la solution n'est pas simple du tout.

Bon courage si tu fais le calcul ... Tu dois pouvoir le faire en première, puisque ça ne repose que sur des factorisations, mais c'est long.

Salut zMath.

Merci pour ta réponse!
On a pas encore fait les dérivées donc je vais éviter d'en mettre une sur ma copie. Je vais laisser la méthode "graphique".
Par contre je vais résoudre l'équation que tu trouves "juste for fun".
En cours on applique pas la méthode Ferrari. On pose par exemple x²=X et on résout comme une équation du seconde degré.

Merci!

Citation : Brisinger

En cours on applique pas la méthode Ferrari.

C'est normal, au mieux tu la verres en exercice, "au pire" jamais

Citation : Brisinger

. On pose par exemple x²=X et on résout comme une équation du seconde degré.

Sauf qu'ici ça ne marche pas, il faut des méthodes plus poussées, qui ne sont pas au programme car donnant des formules trop complexes et inutiles à retenir. En effet on n'obtient une équation bicarrée (c'est-à-dire où on peut faire le changement de variable X=x²)

Citation : zMath

Citation : Brisinger

. On pose par exemple x²=X et on résout comme une équation du seconde degré.

Sauf qu'ici ça ne marche pas, il faut des méthodes plus poussées, qui ne sont pas au programme car donnant des formules trop complexes et inutiles à retenir. En effet on n'obtient une équation bicarrée (c'est-à-dire où on peut faire le changement de variable X=x²)

A oui en effet on se retrouve avec une équation de la forme:
<math>\(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=O\)</math>
Dans ce cas là on ne peut poser X=x²

Pour la petite histoire, la résolution du degré deux était connue depuis les Babylonniens, puis le degré 3 a été résolu par Tartaglia et publié par Cardan (d'où le nom de formule de Cardan), ensuite Ferrari a résolu le degré 4.
On a ensuite cherché les formules de résolution de degré 5, jusqu'à ce que Abel et Galois (deux génies précoces disparus trop tôt) démontre l'impossibilité de trouver une telle formule.

Citation : zMath

Pour la petite histoire, la résolution du degré deux était connue depuis les Babylonniens, puis le degré 3 a été résolu par Tartaglia et publié par Cardan (d'où le nom de formule de Cardan), ensuite Ferrari a résolu le degré 4.
On a ensuite cherché les formules de résolution de degré 5, jusqu'à ce que Abel et Galois (deux génies précoces disparus trop tôt) démontre l'impossibilité de trouver une telle formule.

Sympathiques ces petites anecdotes.
Si j'avais su que j'aurais autant de sujets de recherche/apprentissage en proposant un petit exo je l'aurais fait plus souvent.
Ca me fait prendre conscience que j'ai encore du boulot pour la suite .
Merci à toi et bon courage pour tes études.