Bonjour,

Je suis tombé sur un cas particulier, au début je pensais que ce n'était pas systématique mais j'ai réussi à établir les conditions pour que la formule soit vraie à chaque fois.

Soit n un entier naturel pair construit comme suit. Son avant dernier chiffre est soit 1, 3, 7 ou 9 et son dernier chiffre doit être 2. Alors 2n/(n-40) donne une fraction que l'on simplifie dans laquelle le numérateur, s'il se termine par le chiffre 6, on lui soustrait 1 et le nouvel entier finissant par le chiffre 5 est décomposable avec comme nombre intervenant dans la décomposition de cet entier finissant par 5 le nombre n de départ amputé de son dernier chiffre.

Ce nombre n de départ amputé de son dernier chiffre peut être soit premier lui-même soit décomposable également. Et donc il intervient à chaque fois dans la décomposition de l'entier finissant par 5.

Exemple avec n=77772 (son avant dernier chiffre est bien 7 et son dernier chiffre est bien 2 et n est pair).

Alors 2n/(n-40) = 2*77772/(77772-40) = 38 886/19 433. Comme le numérateur se termine par 6 on lui soustrait 1 et on obtient 38 885. Or 38 885 = 5 * 7 * 11 * 101. On voit donc que la décomposition fait intervenir le nombre n de départ amputé de son dernier chiffre, c'est-à-dire 7777 = 7 * 11 * 101.

Voilà.

Avez-vous une explication simple à ce phénomène ?

Merci.

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Edité par Craw 20 septembre 2021 à 7:10:39

Bonjour,

en fait c'est juste de l'arithmétique :

Tu construis des nombres n de la forme n=100*a+D où D ∈ {12,32,72, 92}. On peut formuler cela de manière équivalente en n=100*a+20b+12=2(50*a+10b+6) avec b∈{0,1,3,4}.

Tu continues en construisant la fraction 2n/(n-40) = 4(50*a+10b+6)/(100*a+20*b-28)=(50*a+10*b+6)/(25*a+5*b-7)

on a pgcd(50a+10b+6,25a+5b-7)=pgcd(25a+5b-7,20)=1, tu retranches 1 au numérateur ce qui donne : 50a+10b+5 soit 5(10a+2b+1) et 10a+2b+1 c'est exactement le premier nombre amputé de son dernier chiffre car (100a+20b+12) = 10(10a+2b+1)+2.