Bonjour à tous !

J'ai un gros, GROS problème sur le chapitre du Produit scalaire. Je ne comprends pas vraiment en fait. J'ai été absent en plein milieu du chapitre car j'étais très malade, et du coup j'ai pris du retard. C'est pour cela que j'en reviens à vous, car je n'y arrive pas tout seul.

Mon contrôle est demain, et c'est le dernier, je n'ai pas du tout envie de voir ma moyenne s'effondrer. Mon prof de maths nous a dit ce qu'il y aurait dans le contrôle demain:

- 1 exo sur un cercle, ou il faudra déterminer son équation etc.
- 1 exo avec deux équations de cercles, qu'il faudra tracer, et il faudra déterminer seulement par le calcul les points d'intersections des deux cercles.
- 1 dernier exo avec des produit scalaires qu'il faudra élever au carré ou projeter etc.

Constat de ce que je ne sais pas faire..

- Tracer un cercle en ayant son équation.
- Trouver l'équation d'un cercle.
- Déterminer par le calcul les pts d'intersections de deux cercles.

J'ai un cours, certes le début est clair (élévation au carré, projeté orthogonal..) mais la suite est remplie de formule et d'équations avec des mots techniques ce qui fait que je ne comprends plus rien..
En ce moment j'essaye de faire un petit exo, vous pourrez peut-être m'aider avec celui-ci:

On a deux cercles: C1 = (x-2)² + (y+2)² = 5 et C2 = (x+1)² + (y-1)² = 3.

Merci de bien vouloir m'aider.

En général, si on sait ce que représente l'équation d'un cercle (et tous les trucs bizarres qu'il y a à l'intérieur), on sait faire les deux premiers points (tracer un cercle ou trouver son équation).

Soit un cercle de centre <math>\(O(x_0;y_0)\)</math>, et de rayon <math>\(R\)</math>. Son équation est :
<math>\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\)</math>

En gros, si on regarde ton premier cercle C1 : <math>\(x_0\)</math> vaut 2, et <math>\(y_0\)</math> vaut -2. Le centre de C1 est donc <math>\(O_1(2;-2)\)</math>. Son rayon vérifie <math>\(R_1^2=5\)</math>, donc <math>\(R_1=\sqrt{5}\)</math>. Pour le tracer, tu prend donc ton compas à la largeur 2.235..., tu piques au point O_1 et tu traces !

Pour faire l'inverse, mettons que tu as un cercle C3 de centre <math>\(O_3(5;-3)\)</math> et de rayon <math>\(R_3=4\)</math>, tu as :
-<math>\(x_0=5\)</math>
-<math>\(y_0=-3\)</math>
-<math>\(R_3^2=4^2=16\)</math>
Donc l'équation de C_3 est <math>\((x-5)^2+(y+3)^2=16\)</math>

L'équation générale d'un cercle est <math>\((x-x_o)^2+(y-y_0)^2 = R^2\)</math> où <math>\(O(x_0,y_0)\)</math> est le centre du cercle et <math>\(R\)</math> le rayon du cercle.
Pour tracer un cercle en ayant son équation, il suffit donc d'identifier <math>\(O\)</math> et <math>\(R\)</math> et d'utiliser son compas.
Pour donner l'équation en ayant le cercle, on remplace <math>\(x_0\)</math>, <math>\(y_0\)</math> et <math>\(R\)</math> par les valeurs correspondant au cercle (coordonnées du centre et rayon)

Cette équation vient du fait que si <math>\(M (x,y)\)</math> appartient au cercle de centre <math>\(O(x_0,y_0)\)</math> et de rayon <math>\(R\)</math> alors <math>\(OM = R\)</math>, ie <math>\(||\vec{OM}|| = R\)</math>
Soit encore <math>\(||\vec{OM}||^2 = R^2\)</math> et comme <math>\(||\vec{OM}||^2 = (x-x_o)^2+(y-y_0)^2\)</math> on en déduit l'équation.

Pour déterminer les points d'intersections, il y a plusieurs méthodes.
La première chose à faire est de vérifier que les deux cercles ont bien des points en communs, pour cela, il faut vérifier que <math>\(OO' \leq R + R'\)</math> (cercles suffisamment proches), <math>\(OO'+R \geq R'\)</math> et <math>\(OO'+R' \geq R\)</math> (aucun cercle inclus dans l'autre) où O et O' sont les centres des deux cercles et R et R' leurs rayons
- Si <math>\(OO' = R + R'\)</math>, les deux cercles sont tangents, c'est à dire qu'il n'ont qu'un point commun. (suppression d'une absurdité ^^)
- Si <math>\(OO' < R + R'\)</math>, il y a deux solutions (sauf si un des cercles est inclus dans l'autre)

Citation : rushia

Si <math>\(OO' = R + R'\)</math>, les deux cercles sont tangents, c'est à dire qu'il n'ont qu'un point commun. Il suffit alors de faire un schéma pour se convaincre que c'est le milieu de OO', c'est à dire le point de coordonnée <math>\(\left(\frac{x_0+x_0'}{2},\frac{y_0+y_0'}{2}\right)\)</math>

C'est seulement si <math>\(R=R'\)</math>
Sinon, le point de tangence <math>\(T\)</math> est sur le segment <math>\([OO']\)</math>, de sorte que <math>\(\frac{OT}{R}=\frac{TO'}{R'}\)</math>.

C'est donc le barycentre de <math>\(R'(O)\)</math> et de <math>\(R(O')\)</math> (c'est comme ça qu'on note ? ), donc c'est le point <math>\(T\left(\frac{R'x_0+Rx'_0}{R+R'};\frac{R'y_0+Ry'_0}{R+R'}\right)\)</math>

oui, j'allais un peu vite

Sinon, je viens de faire un petit schéma pour fixer les idées :

C'est pas si simple que ça finalement...

En faisant un calcul brutal, on doit y arriver en partant du système :
<math>\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = R^2\)</math>
<math>\((x-x_0')^2+(y-y_0')^2 = R'^2\)</math>
Soit en développant :
<math>\(x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y = R^2 - x_0^2 - y_0^2\)</math> (1)
<math>\(x^2 + y^2 - 2x_0'x - 2y_0'y = R'^2 - x_0'^2 - y_0'^2\)</math> (2)
En faisant (2)-(1) :
<math>\(2(x_0-x_0')x + 2(y_0-y_0')y = R'^2 - R^2 + x_0^2 - x_0'^2 + y_0^2 - y_0'^2\)</math>

Cas particuliers :
- <math>\(y_0 = y_0'\)</math>
<math>\(x = \frac{R'^2 - R^2 + x_0^2 - x_0'^2}{2(x_0-x_0')}\)</math>
Qu'on remplace dans une des deux équations de cercle pour obtenir une équation du second degré en y qui donnera les deux solutions possibles (mettre une formule littérale n'a que peut d'intérêt, sinon aucun)
- <math>\(x_0 = x_0'\)</math>
<math>\(y = \frac{R'^2 - R^2 + y_0^2 - y_0'^2}{2(y_0-y_0')}\)</math>
Qu'on remplace dans une des deux équations de cercle pour obtenir une équation du second degré en x qui donnera les deux solutions possibles (mettre une formule littérale n'a que peut d'intérêt, sinon aucun)

Sinon, on exprime par exemple y en fonction de x, on remplace dans les équations pour trouver les deux x possible et en utilisant l'expression de y en fonction de x on trouve les deux y, c'est long et moche mais ça ne doit pas être trop dure à faire avec des valeurs numériques.

Merci à vous deux pour vos réponses, ça fait plaisir !

J'ai compris pour tracer un cercle et récupérer son équation. Mais par contre, j'ai vu que l'équation d'un cercle était aussi dans cette forme: x² + y² + ax + by + c = 0.
Dans ce cas, comment fait-on ?

Puis, pour en venir aux points d'intersections, j'ai pas trop trop compris comment vous avez fait
Je sais que mon prof à parlé vite fait de "si Delta est positif il y a deux solutions, si = 0 y'en a une." Ok, mais on calcule delta comment ?
OO' peut-être ? Après, comment déterminer les points s'il y en a deux ?

Merci pour le schéma rushia, comme cela on pourra mieux voir Donc comment calculer M1 et M2 ?

EDIT: J'ai posté mon message quand t'as édité rushia, donc je vais déjeuner et ensuite je vais lire

Si tu as une équation de la forme :
<math>\(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\)</math>, il faut te ramener à la forme donnée plus haut
Le truc est de faire apparaitre une identité remarquable <math>\((x+p)^2 = x^2+2px+p^2\)</math> :

<math>\(x^2 + 2\frac{a}{2}x + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 + 2\frac{b}{2}x + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c = 0\)</math>
Ce qui donne :
<math>\(\left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c\)</math>

C'est à peu de chose près la même méthode que pour mettre sous forme canonique.

Edit : très bien, j'en profite pour faire un exemple numérique

C1 : <math>\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 9\)</math> et C2 : <math>\((x+1)^2 + (y-1)^2 = 4\)</math>
Ça donne :
<math>\(x^2 + y^2 - 4x + 4y = 1\)</math> (1)
<math>\(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 2\)</math> (2)

(2)-(1) :
<math>\(6x - 6y = 1\)</math>

On est dans aucun des cas particuliers. On va donc exprimer y en fonction de x :
<math>\(y = x - \frac{1}{6}\)</math> (3)
On remplace dans (1) par exemple :
<math>\(x^2 + \left(x - \frac{1}{6}\right)^2 - 4x + 4\left(x - \frac{1}{6}\right) = 1\)</math>
on développe et on simplifie :
<math>\(2x^2 - \frac{2}{6}x - \frac{59}{36} = 0\)</math>
On calcule le discriminant :
<math>\(\Delta = \frac{4}{36} + 4*2*\frac{59}{36} = 4*\frac{119}{36} > 0\)</math> donc on trouve bien deux solutions (si il avait été nul, on aurait eu une seul solution : les deux cercles sont tangents et si il avait été négatif, c'est qu'il n'y aurait pas eu de solution) :
<math>\(x_1 = \frac{1-\sqrt{119}}{12}\)</math> et <math>\(x_2 = \frac{1+\sqrt{119}}{12}\)</math>
On en déduit en utilisant (3) <math>\(y_1 = \frac{-1-\sqrt{119}}{12}\)</math> et <math>\(y_2 = \frac{-1+\sqrt{119}}{12}\)</math>

Citation : BoredToDeath

Puis, pour en venir aux points d'intersections, j'ai pas trop trop compris comment vous avez fait
Je sais que mon prof à parlé vite fait de "si Delta est positif il y a deux solutions, si = 0 y'en a une." Ok, mais on calcule delta comment ?
OO' peut-être ? Après, comment déterminer les points s'il y en a deux ?

Par exemple, si tu veux trouver les points d'intersection de C1 et C3 (voir quelques posts plus bas), il faut résoudre le système:
<math>\(\mbox{E1: }(x-2)^2+(y+2)^2=5\)</math>
<math>\(\mbox{E2: }(x-5)^2+(y+3)^2=16\)</math>
On soustrait les deux, en factorisant avec l'identité a²-b²:
<math>\(\mbox{E2-E1: }-3(2x-7)+1(2y+5)=11\)</math>
En développant et en réduisant, on trouve :
<math>\(y=3x-\frac{15}{2}\)</math>
On remet dans E1:
<math>\(\mbox{E1: }(x-2)^2+\left(3x-\frac{11}{2}\right)^2=5\)</math>
On développe et on réduit :
<math>\(10x^2-35x+\frac{105}{4}=0\)</math>
Ce qui nous amène à:
<math>\(x=\frac{35\pm\sqrt{\Delta}}{20}\)</math>
avec <math>\(\Delta=35^2-10\times105\)</math>
Et on trouve facilement les solutions (si elles existent) et calculant x et en calculant y à partir de x.
C'est une méthode, qui devrait toujours marcher (j'ai donné un exemple car le cas général devient vite incompréhensible avec toutes les lettres )


Pour l'histoire du discriminant, il faut que x soit réel. Le seul truc qui pourrait faire foirer le "réalisme" de x, c'est qu'on ait une racine carrée d'un nombre négatif. Ici, le problème est donc quand <math>\(\Delta\)</math> est négatif. Dans ce cas, x n'est pas réel, et ça ne mène à aucune solution.

Quand <math>\(\Delta=0\)</math>, on trouve que <math>\(x=\mbox{machin}\pm0\)</math>. Quand on ajoute ou enlève 0, ça donne la même chose, donc les deux solutions pour x sont en fait les mêmes : il n'y a qu'une solution.

Finalement, quand <math>\(\Delta=0\)</math>, on a évidemment deux solutions distinctes.


PS : Si j'ai pas été assez clair quelque part, ou si j'ai été trop vite, n'hésite pas à le dire

Alors merci de vos réponses vraiment très complètes et rapides. J'ai essayé de me lancer dans la jungle du calcul des points donc, et je me suis arrêté à ce système suivant:

x² + y² - 4x - 4y = -3
x² + y² + 2x - 2y = 1

Je bloque. Pouvez-vous me bien me détailler comment vous faite svp ? Je n'ai jamais fait de système comme ça moi..

En fait, on veut avoir une expression jolie de <math>\(y=f(x)\)</math>, donc on élimine les carrés (comme précédemment. On a donc :
<math>\(\mbox{E2-E1: }6x+2y=4\)</math>
Comme avant, on réécrit:
<math>\(y=-3x+2\)</math>
Ma compréhension de cette méthode est qu'on essaie d'avoir des calculs faciles, donc pour la première étape, si on le peut (ce qui est le cas), on élimine les x² et les y²

Et on remplace dans E1 ou E2, ce qui donne une équation de degré 2 en x... Si la suite ne va toujours pas, signale-le !

Justement, en fait j'ai riiiiiiien capté à ce que tu as fais précédemment. J'arrête pas de tout re-re-re-re-re-re-re-faire, j'arrive pas à calculer ces petits enfoirés de points d'intersections

J'en suis toujours arrêté à mon système..

Excuse moi de pas trop comprendre alors que tu prends sur ton temps pour m'écrire des messages bien présentés et tout, mais c'est vraiment pas de ma faute..

Non, non, c'est normal de ne pas comprendre On est là pour expliquer (si tout le monde comprenait tout, on serait au chômage )

Au boulot ! Première étape.
On soustrais les 2 équations :
<math>\(\mbox{E2-E1: }(x^2+y^2+2x-2y)-(x^2+y^2-4x-4y)=1-(-3)\)</math>
On réarrange :
<math>\(x^2-x^2+y^2-y^2+2x-(-4x)-2y-(-4y)=4\)</math>
On simplifie tout :
<math>\(6x+2y=4\)</math>
On fait passer les x de l'autre côté :
<math>\(2y=4-6x\)</math>
On divise par 2:
<math>\(y=\frac{4-6x}{2}=2-3x=-3x+2\)</math>
Tout cette étape, c'était pour avoir une expression de y en fonction de x : ça permet de remplacer y par cette expression dans une équation, comme ça on a une seule équation en une variable : soluble !

Deuxième étape.
On fait alors comme on a dit : on remplace <math>\(y\)</math> par <math>\(-3x+2\)</math> dans la première équation :
<math>\(x^2+(-3x+6)^2-4x-4(-3x+6)=-3\)</math>
On développe :
<math>\(x^2+9x^2-36x+36-4x+12x-24=-3\)</math>
On réduit (on rassemble les termes en x², en x et sans x) :
<math>\(10x^2-28x+15=0\)</math>
Et maintenant, on applique la formule magique :
<math>\(\Delta = 28^2-4\times10\times15=184\)</math>
<math>\(x_1=\frac{28+\sqrt{\Delta}}{20}=\frac{28+2\sqrt{46}}{20}=\frac{14+\sqrt{46}}{10}\)</math>
<math>\(x_2=\frac{14-\sqrt{46}}{10}\)</math> (on procède de même)
Pour trouver les y, on se souvient de l'expression trouvée à l'étape 1 :
<math>\(y_1=-3x_1+2=\frac{-42-3\sqrt{46}}{10}+\frac{20}{10}=\frac{-22-3\sqrt{46}}{10}\)</math>
<math>\(y_2=-3x_2+2=\frac{-42+3\sqrt{46}}{10}+\frac{20}{10}=\frac{-22+3\sqrt{46}}{10}\)</math>

On a donc nos 2 solutions ! Eh oui, les points d'intersection M et N des deux cercles ont pour coordonnées <math>\(M(x_1;y_2)\)</math> et <math>\(N(x-2;y_2)\)</math>, soit :
<math>\(M\left(\frac{14+\sqrt{46}}{10};\frac{-22-3\sqrt{46}}{10}\right)\)</math> et <math>\(N\left(\frac{14-\sqrt{46}}{10};\frac{-22+3\sqrt{46}}{10}\right)\)</math>
(J'espère que je ne me suis pas planté dans les calculs )

Résumé de la technique :
-Etape 1 : on veut trouver y en fonction de x. Pour ça, on "tue" les carrés en soustrayant les deux équations.
-Etape 2 : on remplace y par son expression de x dans une équation, on développe tout, on passe tout d'un côté (l'autre vaut donc 0) et on applique la formule magique. On a 0,1 ou 2 valeurs pour x. Pour chacune d'elles, on calcule y grâce à l'expression de x qu'on avait trouvée à l'étape 1.
-Conclusion : on trouve les coordonnées des deux points d'intersection.

J'ai compriiiis ! J'y suis arrivé. Là c'est devenu clair comme de l'eau de source. Par contre je crois que tu as fais une faute de calcul, car on trouve à un moment y = 2 - 3x, et tu as remplacé y dans la première équation par 6 - 3x, il me semble.. Mais bref, c'est la méthode qui compte, et je l'ai assimilée grâce à toi C-j et aussi à rushia.

Merci beaucoup beaucoup J'en pouvais plus.