Bonjour à tous
J'ai un soucis avec la résolution de l'exercice suivant :

On considère un entier <math>\(n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0,1 \}\)</math> et le sous groupe additif <math>\(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\)</math>
Soit <math>\(a \in [\![0,n-1]\!]\)</math>, montrer que l'ordre de l'élément <math>\(\bar a\)</math> est n/(n^a) (C'est une fraction, désolé je ne sais pas comment représenter le "^" avec la balise maths.)

J'ai une indication : l'ordre <math>\(p\)</math> de <math>\(\bar a\)</math> est <math>\(p = min \{ k \in \mathbb{N}^* / n|ka\}\)</math>.

Le soucis est que je n'arrive pas à retrouver le résultat de cette indication
Je connais la définition de l'ordre de l'élément d'un groupe : ici si <math>\(\bar a\)</math> est d'ordre p ça signifie que <math>\(p \times \bar a = e\)</math> (groupe additif d'élément neutre e). non ?
Je sais aussi qu'il y a une définition avec le noyau du morphisme dont l'image donne le sous-groupe engendré par <math>\(\bar a\)</math>.
Enfin bref si quelqu'un aurait une correction à apporter à mes définitions, ou un autre point de vu... J'ai surrement du mal à me représenter ce à quoi l'ordre correspond dans <math>\(\mathnn{Z}/n\mathbb{Z}\)</math>

Merci d'avance

Je suis pas sûr de comprendre <math>\(\frac{n}{n^a}\)</math> n'est pas forcément entier ?
Pour faire une puissance en Latex tu fais simplement truc^{ton exposant}
Pour ta définition il faut prendre le plus petit positif p non nul tel que pa=1, et effectivement dans ce cas p engendre le noyau du morphisme qui va des entiers par ton groupe <math>\(p\mapsto pa\)</math>

Justement ce n'est pas une puissance que je souhaitais représenter mais bien "n^a" où "^" représente ici... la division euclidienne je suppose (ou alors son reste, je ne me suis pas penché sur la question ^^) En effet ce doit être le PGCD !
Mon soucis se situe vraiment au niveau de l'indication dont je n'arrive pas à comprendre la provenance, le pourquoi du comment

Mais merci de répondre si vite en tout cas

Ha oui j'avais pas compris ton histoire de «je sais pas faire le ^» dans ce cas c'est le pgcd a priori

Ta définition n'est pas exacte : l'ordre d'un élément a est le plus petit entier p tel que <math>\(p\times \bar{a}=0\)</math>. Dans ton cas, cela revient au même de dire que <math>\(n | p\times \bar{a}\)</math>.
Ce qui correspond bien à l'indication que tu as.

Je suppose que ton "a^n" est "pgcd(a,n)". Pour le faire en latex, c'est \wedge

Pour l'exo : il est assez facile de montrer que <math>\(\frac{n}{n\wedge a}\times \bar{a}=\bar{0}\)</math>.
Après, pour montrer que l'ordre de a ne peut pas être plus petit, tu peux commencer à réfléchir au cas où a et n sont premiers entre eux (i.e. a^n=1).