Bonjour

Je suis un Terminale S SI et je dois donc rendre un (une sorte de TPE).
Mon groupe et moi avons choisis de réaliser un système permettant de tourner une télévision grâce à une télécommande. Ainsi, nous avons pensé à deux bras qui se croisent, et selon l'angle de rotation de chacun, la TV aura une orientation différente.
Je pense qu'un schéma sera plus clair :

Le bleu représente la télévision (en fait, les bras peuvent coulisser derrière la TV par un système de rail donc le trait bleu représente la distance entre les deux bras), le rouge est le mur et selon l'angle des deux bras -brasG et brasD- la télévision est orienté).
Mon problème est le suivant, je cherche à déterminer théoriquement l'angle de rotation de la TV (celui qui est égale à 16.53° dans le cas ci-dessus).

Soit le schéma suivant (oui, je suis un pro pour tracer des traits droits) :


Alors d'après le théorème d'Al-Kashi :

<math>\(D^{2} = d^{2} + L^{2} - 2 \times dL \times cos(90- \beta) \\\)</math> donc
<math>\(D = \sqrt{d^{2} + L^{2} - 2 \times dL \times cos(90 - \beta)} \\\)</math>
<math>\(D = \sqrt{d^{2} + L^{2} - 2 \times dL \times sin(\beta)} \\\)</math>

D'après le même théorème :

<math>\(L^2 = d^2 + D^2 - 2dDcos(\widehat{G})\)</math>
<math>\(cos(\widehat{G}) = \frac{L^2 - d^2 - d^{2} + L^{2} - 2 \times dL \times sin(\beta)}{-2d \sqrt{d^{2} + L^{2} - 2 \times dL \times sin(\beta)}}\)</math>
donc <math>\(cos(\widehat{G}) = \frac{d-L \times sin(\beta)}{\sqrt{d^2 + L^2 -2dLsin(\beta)}}\)</math>

Et par conséquent, l'angle recherché (celui annoté à 16.53° dans l'exemple) est :
<math>\(\epsilon = \widehat{G} - 90\)</math>
donc <math>\(\epsilon = Arccos(\frac{d-L \times sin(\beta)}{\sqrt{d^2 + L^2 -2dLsin(\beta)}}) - 90\)</math>.

Voilà ce que je trouve en théorie, mais lorsque je simule le fonctionnement du système avec Geogebra et que je compare les valeurs "expérimentales" et celles que je calcule, il y a un fossé.
Quelques valeurs au hasard (on considère l'angle du bras droit constant, ce qui est le cas):

Angle du bras gauche	Angle TV calculé	Angle TV exp.
20°	-100°	-10°
50°	-128°	-43°
80°	-146°	-78°

Si vous pouviez m'aider à chercher l'erreur
Merci d'avance.

Je pense que tu fais des suppositions un peu abusives sur tes angles droits. Sans avoir vérifié complètement ton calcul, j'ai au moins eu le sentiment que tu considérais que l'angle que fait (GC) avec le mur est droit, alors que c'est faux (enfin il n'y a pas de raison que ce soit vrai) ; et tu supposes de même que l'angle que tu cherches vaut G moins 90... ce qui, pour la même raison, ne me paraît pas vrai.

Bon courage pour trouver la solution .

Merci.
En effet, les angles ne sont pas droits, je ne sais pas pourquoi j'ai supposé qu'ils l'étaient.
Me revoilà au début du problème

Bon, j'ai un peu réfléchi au problème, il est géométriquement intéressant. J'ai fini par trouver une solution par un moyen compliqué un peu détourné (en somme, en considérant le prolongement de la droite de la TV, (GF) sur tes dessins, et son intersection avec le mur, on obtient plein de triangles dont on s'aperçoit avec plus ou moins de bonheur qu'ils peuvent être semblables, etc. En réfléchissant, on s'aperçoit qu'il faut aussi considérer la parallèle à la (GF) passant par C (!) et on construit une espèce de figure avec un genre de symétrie dans les relations, cette dernière droite étant le pendant de la parallèle au mur passant par G que tu avais considérée initialement ; avec ceci, quelques considérations autour de Thalès, des angles, et des distances entre le mur et sa parallèle passant par G, et entre la TV et sa parallèle passant par C, on finit par obtenir des relations sympathiques sur les sinus des angles, notamment entre celui que tu as nommé <math>\(\varepsilon\)</math>, <math>\(\hat F\)</math> et <math>\(\hat E\)</math> : <math>\(\sin \varepsilon = \frac{L}{N} \left( \sin (\hat E + \varepsilon) - \sin \hat F \right)\)</math>, où <math>\(N\)</math> est la distance [CE], l'écart entre les supports sur le mur).

Avec tout ça, on arrive à la formule suivante :
<math>\(\tan (\varepsilon + \alpha) = \frac{L \sin (\alpha + \beta) - N \sin \alpha}{L + L\cos (\alpha + \beta) - N \cos \alpha}\)</math>, où j'ai noté encore une fois <math>\(N\)</math> la distance [CE] (éventuellement égale à L, je ne sais pas), et <math>\(\alpha = \hat E\)</math>.

Mais cette formule est assez intéressante dans sa forme, et finalement elle m'a fourni un moyen purement géométrique de la retrouver, sans passer par des relations sordides entre distances et angles. En gros, on détricote la figure pour faire apparaître deux parallélogrammes, et on tombe immédiatement sur la formule que je t'ai donnée plus haut.
Voici une figure :


J'ai un peu renommé les points et les angles, évidemment, je suis désolé. Donc le mur, c'est le segment [AB], la télé est représentée par le segment [DC], et les deux bras par les segments [AC] et [BD]. Les droites parallèles à des segments existants sont de la même couleur pour faciliter la lecture. Ainsi, j'ai fait apparaître le losange BDEG, et le parallélogramme CDEA. Ce dernier sert à prouver que l'angle <math>\(\gamma\)</math> au point E est le même que l'angle <math>\(\gamma\)</math> qui apparaît entre la télé et le bras bleu ; il correspond à <math>\(\varepsilon + \hat E\)</math> sur ta figure, et c'est cet angle que l'on cherche à calculer (comme on connaît l'angle entre le bras bleu et le mur, qui correspond à <math>\(\alpha\)</math> sur ma figure, et à <math>\(\hat E\)</math> chez toi, cela marche).

Dans le triangle EAH que j'ai construit avec ces losange et parallélogramme, on s'aperçoit immédiatement que <math>\(\tan \gamma = \frac{ AH }{ EH }\)</math>, il reste à calculer ces deux distances, et là on s'aperçoit qu'on peut facilement le faire par trigonométrie (<math>\(AH = KH - KA = IG - KA = BG \sin (\alpha + \beta) - AB \sin \alpha = L \sin (\alpha + beta) - N \sin \alpha\)</math>, et <math>\(EH = GE - GH = L - IK = L - (BK - BI) = L - (AB \cos \alpha - BG \cos (\alpha + \beta) = L - (N \cos \alpha - L \cos (\alpha + \beta)\)</math>).

On obtient ainsi bien la formule que j'ai annoncée, je te laisse finir le calcul :-) .

Le fichier géogebra de ma figure est ici si tu veux.

Waouw ! Alors tout d'abord merci beaucoup pour ton intervention : j'ai tout compris ! Cela va vraiment m'aider pour la suite du "projet".
D'autant plus, les résultats concordent entièrement avec les valeurs que Geogebra renvoie selon les valeurs des angles.

Bonne soirée