Salut.
C'est à propos d'un exercice à 3 questions:

a) déterminer le PGCD des nombres 195 et 232 (résolu, c'est 1)
b) montrer que l'ensemble des solutions de l'équation 195x - 232y = 1 est:
S= {(163 + 232k; 137 + 195k), k appartenant à Z) (résolu)

Je peine avec la dernière question:
c) déterminer l'unique entier naturel d vérifiant 0<d<232 (O et 232 inclus) et 195d = 1[232].

Merci.

Si <math>\(195d \equiv 1[232]\)</math>, que peux-tu dire sur 195d-1 par rapport à 232 ? Comment traduirais tu ça en équation ?

232 divise 195d - 1..

Oui. Tu ne pourrais pas en déduire une équation vérifiée par <math>\(d\)</math> qui te ferais penser au début de l'exercice ?

Effectivement.
On a deux grosses informations : <math>\(195d \equiv 1 \mod 232\)</math> et <math>\(0\leq d \leq232\)</math>

Comme tu l'as dit on peut un peu transformer l'expression <math>\(195d \equiv 1 \mod 232\)</math>.
Faisons <math>\(195d - 1 \equiv 0 mod 232\)</math>.
Cela signifie que 232 divise 195d - 1.
Il existe donc un entier <math>\(k \in Z\)</math> tel que <math>\(195d - 1 = 232k\)</math>

Si on manipule un peu ça, on retombe sur une forme qui nous fait penser à notre équation diophantienne de départ (question 2) :

<math>\(195d - 232k = 1\)</math>
Ici on identifie facilement d et k :

<math>\($\left \{ \begin{array}{c} d=x=163+232k\\k=y=137+195k \end{array} \right.$\)</math>

Nous ce qui nous intéresse c'est d.
Or on sait que <math>\(0\leq d \leq232\)</math> et que x = d.
Donc on a : <math>\(0\leq 163+232k \leq232\)</math>

On va utiliser la partie droite de l'inégalité pour trouver k qui satisfait à cette inégalité et donc l'unique entier d correspondant :

<math>\(163+232k \leq 232\)</math>
<math>\(232k \leq 69\)</math>
<math>\(k \leq \frac{69}{232}\)</math>
<math>\(k \leq 0.29\)</math>

Mais <math>\(k \in Z\)</math> alors <math>\(k = 0\)</math>

En remplaçant k dans l'expression de d on obtient l'unique entier d :

<math>\(163 + 232(0) = 163\)</math>

On vérifie effectivement que dans <math>\(195d \equiv 1 \mod 232\)</math> en remplaçant d par 163 il reste bien 1.
<math>\(31785 \equiv 1 \mod 232\)</math>

Merci rushia et Craw.
Mais a-t-on le droit de parler de fraction (69/232) dans un exo d'arithmétique? Surtout qu'on travaille en Z..

Oui on a le droit car après je précise bien que k est un entier relatif (ma fraction donne 0.29). k < 0.29 il n'y a qu'un entier relatif qui est entre -0.70 (en prenant en compte l'inégalité de gauche) et 0.29, c'est 0.

A priori, dire que 163 convient, mais que 163+232=395 > 232 et 163-232=-69 <0 ne conviennent plus doit suffire.

D'ailleurs s'il n'y avait pas l'encadrement imposé il n'y aurait pas qu'une valeur de d comme l'a précisé rushia mais plusieurs (395 en est une).