Bonjour,

J'étudie les matrices de la forme décrite ci-dessous.

Quelle que soit leurs tailles, leurs déterminants sont tous égaux à 1, semble-t-il... mais je n'arrive pas à le démontrer (itérations, méthode de Gauss, valeurs propres...).

Auriez-vous une idée SVP ?

<math>\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 &-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ % \end{pmatrix}%\)</math>

Bonsoir,

si je ne me trompe pas dans la lectur de la matrice , on doit pouvoir faire la démonstration en développant le déterminant selon les colonnes et en utilisant la propriété d'invariance du déterminant par combinaisons linéaires de lignes ou de colonnes
Hors termes diagonaux égaux à 1, chaque colonne comprend sous cette diagonale alternativement uniquement des 0 ou des 0 avec un seul terme valant -1.
- partant de k = n, s'il n'y a que des zéros en colonne 1 pour le rang k , alors <math>\(\[ \Delta_{k-1}=\Delta_{k} \]\)</math>
- au rang suivant, il y a donc un -1. On ajoute la première ligne à la ligne contenant -1 dans la colonne 1. Les termes -1 éventuels de la première ligne s'ajoutent mais sont rejetés à droite. On a donc à nouveau, en poursuivant le développement selon la nouvelle première colonne, <math>\(\[ \Delta_{k-2}=\Delta_{k-1} \]\)</math>.
Dans le processus de développement selon la colonne 1, on élimine aussi successivement les lignes 1 où peuvent s'accumuler des -1.

On se rend compte qu'aprés un certain nombre d'itérations , et compte tenu du pas croissant pour la disposition des -1, on aboutit à un déterminant dont la taille est calculable à partir de n qui ne comprend plus que des 1 sur la diagonale et vaut donc 1.
Pour une mise en forme plus formelle et sans doute un peu laborieuse de tout cela, on utilisera l'expression générique des termes non nuls valant -1 soit <math>\(\[ a_{12},a_{24}, a_{36},...,a_{i(2i)},... \]\)</math> au dessus de la diagonale et <math>\(\[ a_{53},a_{85}, ...,a_{(3j+2),(2j+1))},... \]\)</math> en dessous.

Bonjour,

Merci pour votre réponse rapide.

Mais je ne vois pas bien le processus. J'ai l'impression que "colonne 1" veut dire la colonne la plus à droite ? Et "première ligne" celle en bas ?

Si c'est le cas, j'ai un problème pour les tailles 8, 14, 20, 26, 32... mais cela ne semble pas être votre idée ?

Cdt

Bonsoir,

Non, je commence le développement de <math>\(\[ \Delta_{n} \]\)</math> par la colonne 1 dont le seul terme non nul est <math>\(\[ a_{11}=1 \]\)</math> et donc on a bien
<math>\(\[ \Delta_{n}=\Delta_{n-1) \]\)</math> La ligne 1 est donc aussi éliminée et la colonne 1 de <math>\(\Delta_{n-1}=\)</math> a la même forme donc <math>\(\[ \Delta_{n-1}=\Delta_{n-2) \]\)</math>
A partir de là on rencontre l'alernence de -1 sous la diagonale.
Dans <math>\(\[ \Delta_{n-2} \]\)</math>, j'élimine le -1, qui est maintenant en ligne 3 du déterminant de rang n-2 en combinant cette ligne avec la nouvelle ligne 1. Evidemment cela fait apparaitre un autre -1 sur cette ligne 3, mais en une position non gênante pour poursuivre l'itération et il vient alors <math>\(\[ \Delta_{n-2}=\Delta_{n-3) \]\)</math> qui n'est plus celui initial. Mais les -1 que l'on rajoute sont toujours dans des positions qui permettent de poursuivre la réduction en cascade du déterminant initial.
Et cette cascade se termine a priori toujours par un déterminant <math>\(\[ \Delta_{n-p} \]\)</math> qui n'a plus que des 1 sur sa diagonale. Ceci est lié à la position des -1 dans la matrice initiale selon l'indiçage que j'ai indiqué.( au fur et a mesure que l'on rajoute des -1 , ils finissent toujours par s'éliminer via la première ligne des déterminants réduits successifs)
PS: ce serait sans doute plus clair en écrivant les matrices , mais je vous avoue que j'ai la flemme de taper une série de grandes matrices compte tenu de ma modeste habileté en latex !

Bonsoir,

Je comprends mieux ! On ferait une forme de méthode de Gauss en éliminant les termes sous les pivots <math>\(a_{nn}\)</math>. Tant que les modifications ne concernent pas la diagonale, on gardera un déterminant égal à 1. (A contrario si cela modifie la diagonale, on a toute chance pour que le déterminant soit différent de 1.)

Mais si je reproduis bien le système, il reste un problème. Les termes en -1 se trouvent déplacés de façon parfois très prévisible, parfois pas. Je ne cite qu'un exemple. Soit <math>\(a_{36}=-1\)</math> sur la matrice. En appliquant la méthode, ce terme fait passer <math>\(a_{56}\)</math> à -1, ce qui est peu gênant car à droite de la diagonale. Mais après, il fait passer <math>\(a_{86}\)</math> à -1, ce qui commence à gêner. On peut annuler avec la ligne 6, mais les complications commencent (du moins à mon point de vue si je comprends le système) car on se retrouve avec de plus en plus de termes.
En fait je n'ai pas de garanties que les termes en -1 ne tombent jamais sur la diagonale (ils peuvent tomber très loin, la plupart sont bien alignés, mais il me resterait une part de doute).

Maintenant, je n'ai peut-être pas tout bien vu ?
Je vais revenir en août pour reprendre le sujet, car mes accès à internet seront limitées.

A plus tard.

Bonsoir,

tu amènes bien -1 en a86 quand tu combines pour le déterminant d'ordre n-4, mais je ne vois aucun problème à l'éliminer pour le calcul de n-5 en ajoutant la ligne 6, sans accumuler des termes contrairement à ce qui te semble, ni en tombant dans une situation où tu obtiendrais 0 sur la diagonale
La récurrence qui définit les places des -1 est me semble -t-il faites pour que ça marche même si ce n'est pas obligatoirement simple à calculer formellement .

Bonjour,

Passé une certaine taille, il n'est plus possible de prédire les endroits où les termes supplémentaires arrivent. Ils peuvent se retrouver soit au-dessus de la diagonale principale, soit au-dessous, mais il n'y a aucune garantie pour que cela tombe jamais sur cette diagonale. C'est ce point qui me gêne.

On a ici la méthode de Gauss, et elle peut produire un déterminant nul.

Bonsoir,
En revenant sur la question qui ne semble pas réglée, je viens de faire un constat...évident.
La matrice est le produit de deux triangulaires sup.et inf obtenues en conservant simplement les -1 à leur place, pour la partie non nulle ... Facile à vérifier
Le déterminant de chacune vaut clairement 1 donc celui du produit 1 !

Bonsoir,
Il y a un truc sans doute de ce côté, mais cela me paraît plus compliqué, car je trouve des termes non nuls en (5,6), (8,10), (11,14), (14,18), (17,22)... on a une troisième "droite" de pente 3/4 (qui est le produit des deux première pentes 1/2 et 3/2).

Plus loin (càd pour des dimensions plus grandes) on découvre d'autres termes non nuls alignés sur d'autres droites. Il faut qu'aucune ne vienne placer un terme sur la diagonale principale.

Vois-tu la même chose STP ?

Bonsoir
Je suis sûr de la décomposition en produit de matrices triangulaires comme indiqué.
J'ai d'ailleurs programmé par amusement les coefficients de ces matrices triangulaires sous Scilab.
J'ai vérifié la véracité jusqu'à 300x300!

Bonsoir,
J'ai utilisé Excel et Scilab moi aussi.
A-t-on les mêmes matrices STP ?

Pour U :
1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1


Pour L :

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Et le produit :

1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1


j'ai mis en rouge ce qui me gêne dans la matrice finale.

Bonsoir,

malheureusement je commençais à me douter qu'on ne parlait pas de la même matrice.
Aprés examen de ton dernier envoi de U et L ...crainte confirmée

Aprés reprise avec ton L et U ,...je trouve comme toi!
Donc retour à la case départ
edit
en utilisation la factorisation LU de Scilab de la bonne matrice, les deux triangulaires trouvées ont donc effectivement d'autres -1 ...disséminés d'une façon pas totalement simple pour établir une preuve autre que numérique.