Bonjour à tous,

J'aurait besoin d'aide pour calculer la limite de lim x-> 0 (1-cos(x))/sin(x). J'ai pensé utiliser l'identité trigonometrique qui me donerais (sin²(x)+cos²(x)-cos(x))/sin(x)
Suis-je bien partie?

MErci

J'utiliserais plutôt le théorème de l'Hospital si ça te dit quelque chose…

Sinon, tu peux aussi utiliser les développements limités en zéro des fonctions sin et cos.

On a les limites usuelles :
<math>\(lim_{x -> 0} \frac{cos(x) -1}{x} = 0\)</math>
<math>\(lim_{x -> 0} \frac{sin(x)}{x} = 1\)</math>
( je ne sais plus comment on fait les flèches ! )

Salut,
\arrow, avec devant la direction : \leftarrow, \rightarrow, \leftrightarrow, et une majuscule pour les flèches double. long encore devant pour allonger.
Et utilise \lim, c'est nettement mieux (\lim_{x\leftarrow 0} pour ton exemple).

Ceci dit, pas sûr que la première limite soit usuelle pour l'OP.

L'identité trigo de donnera quelquechose de pire je pense. Regarde si en factorisant un peu bizarrement tu pourrais pas avoir que des cas faisables avec un magnifique <math>\(\frac{\sin (x)}{x}\)</math> qui apparait.

Bein la première limite s'obtient de la même façon que la seconde, donc si le PO connait la seconde, il doit connaitre la première.

@@dri1: Il y a encore plus simple pour la flèche : \to

\lim_{x\to0}

<math>\(\lim_{x\to0}\)</math>

Citation : rushia

Bein la première limite s'obtient de la même façon que la seconde, donc si le PO connait la seconde, il doit connaitre la première.

Ah bon ? Tu connais la deuxième comment ? Parce que je connaissais la deuxième mais pas la première.

Sinon pour le problème j'ai pensé à ça :

<math>\(\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}} = \frac{1-\cos^2{x}}{\sin{x} (1+\cos{x})} = \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}\)</math>

Citation : C-j

Ah bon ? Tu connais la deuxième comment ? Parce que je connaissais la deuxième mais pas la première.

Ben par l'Hospital ou en connaissant le développement limité en zéro…





Sinon, très bien vu pour la multiplication du numérateur et du dénominateur par <math>\((1+\cos x)\)</math>.

Ou juste par définition du nombre dérivé ?

De la même façon que l'on a <math>\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)=\cos(0)=1\)</math>, on a :
<math>\(\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-\cos(0)}{x-0}=\cos'(0)=-\sin(0)=0\)</math>

Citation : rushia

Ou juste par définition du nombre dérivé ?

Oui, c'est d'ailleurs quasiment ainsi que l'on prouve le théorème de l'Hospital.

Citation : rushia

Ou juste par définition du nombre dérivé ?

De la même façon que l'on a <math>\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)=\cos(0)=1\)</math>, on a :
<math>\(\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-\cos(0)}{x-0}=\cos'(0)=-\sin(0)=0\)</math>

Oui, ouiouioui, c'est vrai. Sorry.
C'est vrai, je vois cette propriété géométriquement, mais en formalisant ça bien, on retombe grosso modo sur ça.

On peut utiliser les équivalents pour trouver la limite :
<math>\(\sin(x) \sim_0 x \text{ et }\cos(x) \sim_0 1 - \frac{x^2}{2}\)</math>

On déroule et hop on trouve 0