Bonjour.

Je me présente : je suis étudiant en informatique, j'ai fait une prépa où j'étais pas siiiii nul que ça en maths mais quand même un peu, et depuis un an je m'intéresse à des trucs louches comme la théorie des catégories, plus particulièrement pour ses applications à l'informatique. Je commence à comprendre quelques trucs (enfin je crois §), et en parallèle la topologie de prépa me manque. En plus de ça, j'aimerais comprendre mieux de quoi parlent les gens qui font de la topologie différentielle, et pouvoir parler joyeusement d'ouverts, de variétés et de machins comme ça.

Donc voilà ma question : comment m'y remettre en douceur, en essayant de toucher autant que possible à tout dans un premier temps ? Est-ce que je peux utiliser le peu que j'ai déjà travaillé sur les catégories pour la topologie différentielle, ou bien est-ce que c'est une approche trop différente ?

Bonjour,

Petit rappel :

les catégories et les foncteurs sont sans rapport avec la topologie.

Les catégories et foncteurs sont là pour remplacer le concept de fonctions lorsque les objets manipulés n'appartiennent pas à un ensemble - on parle de collections. Exemple : l'ensemble des groupes n'existe pas, donc si on veut être rigoureux quant à la manipulation d'un morphisme de groupe sans préjuger des ensembles de départ et d'arrivée, il faut recourir aux catégories.

La topologie est la partie des maths consacrée à la notion de "être voisin de", de limite, bref c'est la base et l'essence de l'analyse. En prépas on ne voit normalement que la topologie des espaces métriques, mais la topologie générale est bien plus englobante que cela.

La topologie différentielle, c'est l'étude (pour simplifier) du voisinage des fonctions. On regarde comment elles varient au voisinage d'un point. C'est aussi là où l'on écrit des équations aux dérivées partielles - lorsqu'on a par exemple une base non euclidienne. On inclut (topologie) également les effets de bords : résoudre une équation différentielle sur un cercle ou sur un segment (i.e. 2 espaces topologiques distincts non homéomorphes) va donner des solutions différentes.

Variété : en gros, l'espace où la topologie différentielle va s'appliquer. Il est (pour faire très court) localement homéomorphe à un espace vectoriel (espace connu en terme topologique).

Fin du rappel

Pour se remettre en douceur à la topologie, mmhhhh, ça n'est pas simple, il n'y a pas de méthode à proprement parler. On peut l'approcher en douceur par les espaces métriques, on peut l'attaquer de front par le point de vue général (ouverts, voisinages, filtres et ultra-filtres...).

Je relance donc une question afin de mieux te guider : que souhaites-tu faire avec la topologie ? Si c'est juste l'application aux variétés, mieux vaut je pense se procurer un cours sur la topologie des espaces métriques. Le Web en regorge.

Heureusement que tu es là pour partager avec pertinence tout ce que tu sais.

Merci heizmann, j'apprécie ta réponse. Je voudrais juste revenir sur quelques points : les catégories ont beaucoup de connexions avec la topologie, comme t'en apprendra une lecture rapide de http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory . Je n'en sais pas beaucoup plus que toi sur le sujet, donc j'hésitais à être aussi brutal que souls_killer, mais comme tu te permets d'être condescendant à mon égard sur un autre sujet du forum je ne vais pas me priver.

Edit : après explication sur IRC, on pensait vraisemblablement pas à la même chose en fait.

Voilà pour la première partie de ton message.

Citation

Pour se remettre en douceur à la topologie, mmhhhh, ça n'est pas simple, il n'y a pas de méthode à proprement parler. On peut l'approcher en douceur par les espaces métriques, on peut l'attaquer de front par le point de vue général (ouverts, voisinages, filtres et ultra-filtres...).

Je relance donc une question afin de mieux te guider : que souhaites-tu faire avec la topologie ? Si c'est juste l'application aux variétés, mieux vaut je pense se procurer un cours sur la topologie des espaces métriques. Le Web en regorge.

Comme il est peu probable que je puisse jamais utiliser la topologie, c'est vraiment juste par curiosité que je veux m'y mettre. J'aurais espéré des références plus précises, vers des cours (accessibles) destinés aux élèves de L3 ou de Master en maths, et/ou éventuellement des présentations plus algébriques.

@ souls killer : pas compris encore une fois où tu veux en venir avec cette remarque (tiens ? On a supprimé les messages plus haut... pas plus mal).

@ llama-song : ben en ce cas, tu peux commencer ici je pense

La base serait des notions diverses sur les ensembles, puis les ensembles métriques et notamment les espaces complets (je pense à Banach en particulier). Ensuite seulement s'attaquer à la topologie plus générale (en gros, j'aime pas trop le plan du lien du post au dessus du mien)...

La topologie c'est pas dur au début, beaucoup de vocabulaire et une certaine finesse d'analyse qui se base surtout sur une très grande rigueur d'application des définitions.
L'exemple le plus simple c'est la différence entre continuité et continuité uniforme qui est très mince dans la formulation mais d'une grande conséquence.

Si tu veux t'intéresser à la topologie "comme un mathématicien", il y a de nombreuses bonnes références (que je ne connais pas mais qu'on peut trouver facilement). Ici les gens ont souvent une formation fac/prépa donc vont te conseiller le chemin qu'ils ont suivi (espaces métriques, limites, et ensuite seulement ouverts), il y a d'autres méthodes comme le fait de commencer directement par la topologie générale, les différentes notions de séparation, etc. Personnellement j'aime bien la seconde méthode car elle rentre plus dans le vif du sujet, mais c'est un peu dur et surtout assez zoologique : comme dit Hod, c'est un défilé de définition qui n'ont pas d'intérêt quand tu n'as pas de cas d'usage.

En topologie algébrique on utilise un peu de catégories, mais en vrai souvent les mathématiciens lambda (no pun intended) sont pas terriblement familier avec la zoologie catégorique alors ne mettent pas trop l'accent dessus. Ce n'est qu'en géométrie algébrique que ça devient indispensable et qu'il y a beaucoup de technicité catégorique.

Il y a une autre possibilité qui est d'aborder les topologies en partant d'un domaine dans lequel tu as déjà plus d'intuition. Il y a pas mal de liens entre topologie et informatique, et personnellement c'est cet angle qui m'attire. En particulier je lorgne sur le livre Topology via Logic que j'ai prévu d'acheter à l'occasion, ou consulter à ma bibliothèque, et que j'espère intéressant. Il y a aussi des liens forts entre la théorie de l'homotopie et la théorie des types, mais c'est tout récent (Voevodsky etc.) et plus un sujet de recherche qu'une méthode d'apprentissage pour l'instant.

Bref pour moi c'est plus une question de "quel angle d'attaque t'intéresse ?". Si tu veux un truc large prévu par les matheux, il y a certainement de bons bouquins de matheux pour ça (et qui vont commencer par les bases plutôt que la topologie différentielle, et tant mieux). L'avantage c'est que tu vas avoir des trucs très "classiques" avec des exemples dans pas mal de domaines des maths, et une façon de voir les choses proches des autres matheux. Si tu cherches une introduction par le biais d'un autre domaine, ça peut être intéressant mais les références sont plus rares. L'avantage c'est que tu peux avoir plus d'intuition pour te guider, l'inconvénient c'est que l'approche peut être moins classique et donc ne pas te permettre de transférer tes connaissances directement.


Edit: ah oui et le titre "quand on est nul en maths" est inapproprié. Il semblerait que tu ne sois pas nul en maths, mais juste que tu manques de pratique/entraînement/connaissances dans le domaine. Donc la question serait plutôt "apprendre la topologie quand on n'a pas un cursus de mathématicien" ou "apprendre la topologie en autodidacte" ou "apprendre la topologie à un informaticien". La formulation "nul en maths" montre juste que tu manques de confiance en toi et fais penser à tous ces gens qui font un blocage "ah moi les maths j'y comprends rien", et ça c'est nul.

bluestorm, quel livre me conseillerais-tu pour brasser la topologie de manière relativement globale ?
J'entends ne pas se contenter des notions du programme d'une formation, mais plutôt de partir des connaissances relativement basiques (on va dire début CPGE) jusqu'à des choses d'un niveau plus élevé.

Mon but est d'avoir des notions en topologie les plus larges possibles, pas simplement de coller à un programme, la seconde manière d'aborder les choses selon toi.

Et sans vouloir trop dériver du sujet, je cherche la même chose en algèbre et en calcul différentiel.

Tu as toujours le Bourbaki, pour voir les choses de manière très générale et très complète

Moi j'avais proposé sur irc la collection complète des tomes d'analyse de Laurent Schwartz (aux éditions Hermann) :

• Tome I : Théorie des ensembles et topologie
• Tome II : Calcul différentiel et équations différentielles
• Tome III : Calcul intégral
• Tome IV : Applications à la théorie de la mesure

C'est plutôt complet, on brasse quasiment un bon gros morceau d'analyse avec ça. C'est clair, avec de nombreux exemples. Les théorèmes sont tous démontrés - il n'y a pas de "admis". Pour moi : la meilleure référence concernant le calcul différentiel dans toutes les formes : équations différentielles, théorie de l'intégration... La formule de Stokes y est démontrée élégamment je trouve (tome IV).

On va dire que le seul petit bémol que je dénoncerai c'est le fait que l'auteur ne refait pas la construction du corps des réels. En dehors de cela, on trouve vraiment une masse de théorèmes et d'applications en tous genres concernant la topologie et le calcul différentiel.

...après, pour la topologie différentielle, y'a le Berger/Gostiaux : "Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces" (aux éditions puf). Mais là, le niveau est élevé et pas mal de théorèmes ne sont pas démontrés (supposés connus).

Autre référence : Encyclopedia Universalis propose deux tomes de maths : "algèbre, analyse, géométrie", et "fondements, probabilités, applications" (chez Albin Michel). On peut trouver des définitions basiques voire des théorèmes, je m'en sers régulièrement pour avoir une base, ou savoir ce que je dois chercher pour aller plus loin (avec le web par exemple).

Dernière référence : "Algèbre" d'S. Lang, chez Dunod : de l'algèbre vue par les catégories et foncteurs, avec une approche par la résolution de problèmes universels (pour moi la meilleure approche des "modèles" en algèbre). La plupart des applications dont il en retourne (démos dans le livre) concernent les domaines de l'arithmétique de l'algèbre générale (modules, anneaux, théorie spectrale...).

Ce dernier livre pourrait s'adresser notamment aux physiciens désirant disposer de théorèmes et résultats souvent utiles (un exemple entre tous : la recherche de Casimirs étant donné une algèbre de Lie).

Je sais que la question que tu posais concernant les références s'adressait à bluestorm, mais je me suis dit que ça n'empêchait pas.

Une référence pour la topologie générale : Topology de James Munkres. Il part des bases de la topologie et va en profondeur sans rien laisser au hasard : la deuxième moitié du livre est consacrée à la topologie algébrique. Il y a de nombreux exercices corrigés très intéressants. Mais il est en anglais.

Merci beaucoup pour toutes vos réponses. Je vais essayer de regarder un peu les références que vous donnez (un certain nombre devraient se trouver dans ma BU quand même), et je verrai bien où ça me mène. J'ai du pain sur la planche .