Bonjour,

J'ai un devoir en spé maths à rendre pour jeudi, il n'est pas très difficile mais je ne sais pas si je suis sur le bon chemin.
Voici l'énoncé :

1- Soit x un entier relatif, quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de <math>\(x^2\)</math> par 4 ?

Ma réponse : J'ai utilisé les congruences et j'ai donc trouvé que les seuls restes possibles sont 0 et 1.

2- En déduire que l'équation <math>\(7x^2-4y^2 = 1\)</math> d'inconnues x et y entiers relatifs, n'a pas de solution.

Ma réponse : <math>\(7x^2-4y^2 = 1\)</math> donc <math>\(7x^2-1 = 4y^2\)</math>
donc <math>\(7*\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4} = y^2\)</math>

or je sais que les restes possibles de <math>\(x^2\)</math> par 4 sont 0 et 1 donc :

<math>\(\frac{x^2}{4} \Leftrightarrow 4k+1\)</math> OU <math>\(4k\)</math> avec <math>\(k \in \mathbb{N}\)</math> donc :

<math>\(7*\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4} = y^2\)</math><math>\(\Leftrightarrow\)</math><math>\(7*(4k+1)-\frac{1}{4}= y^2\)</math> OU <math>\((7*4k)-\frac{1}{4} = y^2\)</math>

donc : <math>\(7*\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4} = y^2\)</math><math>\(\Leftrightarrow\)</math><math>\(28k+\frac{27}{4}= y^2\)</math> OU <math>\(28k-\frac{1}{4} = y^2\)</math>

<math>\(y^2\)</math> est un entier, donc pas de couple <math>\((x;y)\)</math> solution pour <math>\(7x^2-4y^2 = 1\)</math>

Merci pour votre aide

1 : c'est bon
2 : ce que tu as fait p-ê bon, mais pas du tout dans "l'esprit" arithmétique. Regarde (7x²-4y²) modulo 4 (la 1er question n'est pas posée en l'air !)

Mais pourquoi s'intéresser à (7x²-4y²) modulo 4 et pas un autre modulo ? pour isoler y² ?

La raison malhonnête : parceque dans la question d'avant, on t'a demandé de "trouver un résultat modulo 4". Donc on se dit que ça peut nous servir et on essaie.

Réponse plus mathématique : ben que vaut 4y² modulo 4 ? Ca simplifie drôlement les espressions nan ?

Soit 0 soit 1 puisque 4y² / 4 = y² non ?

Non. 4y² ne serait-il pas un multiple de 4 par hasard ? Dans ce cas, quel est le reste de la division de 4y² par 4 (ce qui correspond à sa valeur modulo 4)?

(Evite d'utiliser "/" quand tu fais de l'arithmétique, car tu te retrouves alors dans Q alors que l'objet d'étude de l'arithmétique est IN ou Z ; c'est destabilisant au début mais tu t'y feras ... ou pas )

Soit n²=x. Si n=2k alors x = 4k² =4X donc le reste est 0.

Sinon si n = 2k+1, alors x = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 = 4X+1 donc le reste est 1.

Pour l'équation, 7x²-4x²= 1 implique que 7x² est congru à 1 modulo 4 (reste de 1 par la division par 4) Mais on sait qu'il y a seulement 2 cas : x² est congru à 0 modulo 4 donc 7x² est congru à 0 modulo 4 et x² congru à 1 modulo 4 donc 7x² congru à 7 modulo 4 soit 3 modulo 4, dans les deux cas l'équation n'a pas de solution.

Citation : newlight

Soit n²=x. Si n=2k alors x = 4k² =4X donc le reste est 0.

Sinon si n = 2k+1, alors x = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 = 4X+1 donc le reste est 1.

Pour l'équation, 7x²-4x²= 1 implique que 7x² est congru à 1 modulo 4 (reste de 1 par la division par 4) Mais on sait qu'il y a seulement 2 cas : x² est congru à 0 modulo 4 donc 7x² est congru à 0 modulo 4 et x² congru à 1 modulo 4 donc 7x² congru à 7 modulo 4 soit 3 modulo 4, dans les deux cas l'équation n'a pas de solution.

ça me dégoute ...

<math>\(1 \equiv 1[4]\)</math> et <math>\(7y^2 - 4x^2 = 1 \Rightarrow 7y^2 - 4x^2 \equiv 1[4]\)</math> or <math>\(4x^2 \equiv 0[4] \Rightarrow 7y^2 \equiv 1[4]\)</math> or <math>\(y^2 \equiv p[4] ; p \in \{0, 1\} \Rightarrow 7y^2 \equiv p[4] ; p \in \{0, 3\}\)</math>
finalement on a , <math>\(7y^2 \equiv 1[4]\)</math> et <math>\(7y^2 \nequiv 1[4]\)</math> (impossible)
donc cette équation n'admet pas de solutions dans <math>\(\mathbb{Z}^2\)</math>

Mais vous allez arrêter oui ? Je croyais que le site du zéro "n'était pas un forum où l'on fait vos devoirs" ! C'est précisément ce que vous faites !

Ce qui m'intéresse c'est pas trop la solution c'est plutot de comprendre pourquoi je passe par modulo 4 et pas 7(ou autre) hormis le fait que ce soit écrit dans la question 1 ?

Tu peux passer par le modulo 7 si ca te chante ; dans ce cas l'équation s'écrit :

-4y²=1 [7]

Mais là c'est moins évident que tu n'as pas de solutions ... (même si après un petit raisonnement de tête ça me semble vrai).

Donc là l'argument à "pourquoi l'exercice te suggère de passer par modulo 4" est que c'est l'une des solutions les plus simples et directes. Après "comment faire si on a pas d'indication pour y penser", ben ... l'intuition, des essais... la débrouille quoi !

On est d'accord que l'utilisation du modulo 4 est là car 4 est un coefficient présent dans l'équation ?

oui