Bonjour,

J'ai un doute sur la définition d'une fonction continue presque partout. J'ai lu à plusieurs endroits qu'une fonction continue presque partout est une fonction dont l'ensemble des discontinuités est de mesure nulle. Et dans d'autres sources je lis que c'est une fonction continue quitte à être redéfinie sur un ensemble de mesure nulle...

C'est un peu contradictoire, laquelle est la plus communément admise ?

Une propriété est dite valable presque partout si elle n'est fausse que pour un nombre dénombrable de points. C'est donc bien ta première solution (l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle).

Pas nécessairement pour un nombre dénombrable, non.

Mais d'accord, c'est la première, merci ! Et donc à priori une fonction continue presque partout ne peut pas devenir continue par redéfinition sur un ensemble de mesure nulle...

Citation : revan

Pas nécessairement pour un nombre dénombrable, non.

Dénombrable = en bijection avec un sous-ensemble de <math>\(\mathbb{N}\)</math>...
Tu me trouve un ensemble dénombrable qui n'est pas de mesure nulle ?

Quand je dis "pas nécessairement pour un nombre dénombrable" ça signifie qu'il peut ne pas être dénombrable. Parce qu'effectivement, je peux chercher longtemps un ensemble dénombrable qui ne soit pas de mesure nulle, ça n'existe pas

Donc « une propriété est dite valable presque partout si elle n'est fausse que pour un nombre dénombrable de points ensemble de mesure nulle. »

Citation : Caduchon

Citation : revan

Pas nécessairement pour un nombre dénombrable, non.

Dénombrable = en bijection avec un sous-ensemble de <math>\(\mathbb{N}\)</math>...
Tu me trouve un ensemble dénombrable qui n'est pas de mesure nulle ?

Donc la définition s'applique aussi quand c'est discontinu sur une infinité de points ? (genre <math>\(f(x)=\frac{1}{\sin{x}}\)</math>) ?

Pour clarifier la remarque de revan : une fonction qui serait discontinue exactement sur l'Ensemble de Cantor serait discontinue sur un nombre non-dénombrable de points, mais tout de même "continue presque partout".

Par ailleurs revan, si tu es en train de faire de la théorie de la mesure, alors oui "presque partout" concerne la mesure de Lebesgue. C'est sans doute ce à quoi la plupart des gens vont penser. Cependant, j'ai le sentiment que les questions de continuités sont en pratique plus souvent posées dans des cadres un peu différents, plus topologiques, où on utilise une autre notion de "taille" des ensembles, par exemple les classes de Baire. À voir selon le contexte, donc, mais ce n'est pas *forcément* la mesure de Lebesgue.

Oui ma remarque portait bien sur l'existence d'ensembles indénombrables de mesure nulle (par exemple l'Ensemble de Cantor pour la mesure de Lebesgue).

Mais la notion de "presque partout" ne renvoie-elle pas systématiquement à la théorie de la mesure ? Que ça soit la mesure de Lebesgue ou n'importe quel autre espace mesurable ? Je ne parlais pas spécifiquement de la mesure de Lebesgue.

Presque partout = partout sauf sur un ensemble négligeable.
Négligeable : pour tout <math>\(\epsilon>0\)</math> il existe une famille <math>\((B_i)_{i\in I}\)</math> de boules ouvertes de rayons <math>\(r_i\)</math> qui recouvrent cet ensemble et telles que <math>\(\sum_{i\in I}{r_i}\leq\epsilon\)</math>.

Citation : Thomash

Presque partout = partout sauf sur un ensemble négligeable.
Négligeable : pour tout <math>\(\epsilon>0\)</math> il existe une famille <math>\((B_i)_{i\in I}\)</math> de boules ouvertes de rayons <math>\(r_i\)</math> qui recouvrent cet ensemble et telles que <math>\(\sum_{i\in I}{r_i}\leq\epsilon\)</math>.

Non, presque partout peut vouloir dire plein de chose, il faut un contexte. C'est d'ailleurs pour ça qu'on dit 'presque partout au sens de Untel' pour préciser la plupart du temps.

Par exemple, comme mentionné par Bluestorm, on peut parler de 'presque partout au sens de Baire'. Or la théorie de Baire se passe très bien du contexte métrique. Les boules n'existent alors pas et ta définition ne peut s'appliquer.

Citation : bluestorm

Pour clarifier la remarque de revan : une fonction qui serait discontinue exactement sur l'Ensemble de Cantor serait discontinue sur un nombre non-dénombrable de points, mais tout de même "continue presque partout".

Et ben, j'ai appris un truc là !

Et donc quand on dit "presque partout", on est toujours dans le contexte de la théorie de la mesure ? Si presque partout au sens de Baire fait bien référence à une mesure de Baire...

Citation

À voir selon le contexte, donc, mais ce n'est pas *forcément* la mesure de Lebesgue.

Citation : revan

Que ça soit la mesure de Lebesgue ou n'importe quel autre espace mesurable ? Je ne parlais pas spécifiquement de la mesure de Lebesgue.

La théorie de la mesure ne se restreint pas à la mesure de Lebesgue. (Sachant que le (contre-)exemple que tu as donné, Baire, pourrait renvoyer à la mesure de Baire).

Bonjour,

Quelques remarques sur la mesure en général sous contrôle de ceux qui ont des connaissances plus récentes que les miennes (qui commencent à dater...) et qui pourront éventuellement poursuivre ( mais on arrive assez vite dans des questions assez délicates)

Si on veut aborder de manière un peu systématique la question discutée ici, il faut commencer par définir de façon générale la notion de mesure sur un ensemble doté d'une structure de tribus ( 3 axiomes ensemblistes) notée <math>\(\[\mathcal{ B} \]\)</math> .

Un espace mesurable E est donc un couple <math>\(\[(E, \mathcal{ B})\]\)</math>

Un espace mesuré est un triplet <math>\(\[(E, \mathcal{ B}, \mu )\]\)</math> où <math>\(\[ \mu \]\)</math> est une mesure définie comme une application <math>\(\[\mathcal{ B}\longrightarrow R^{+} \]\)</math> vérifiant les axiomes de sigma-additivité et de mesure nulle de l'ensemble vide.

Dans ce contexte trés général on définit les parties <math>\(\[ \mu\]\)</math>-négligeable de E comme les parties de mesure nulle de l'espace mesuré.
E peut donc être doté d'autant de mesure que l'on est capable de définir de tribus et d'applications vérifiant les axiomes de définition.

Si on prend l'exemple de R ,partant de la topologie des intervalles ouverts conduisant aux limitations de l'intégrale de Riemann, on construit la tribu Borélienne et la mesure de Borel à partir de la topologie des ouverts, puis la mesure de Lebesgue , la tribu associée n'étant autre que celle de Borel complétée par les parties <math>\(\[ \mu \]\)</math>-négligeable de E.
remarque: la plus grande tribu de R est <math>\(\[\mathcal{ P(R)} \]\)</math> . On montre qu'il existe des parties de R non Lebasgue mesurable et une question encore ouverte je crois est celle du prolongement de la mesure de Lebesgue mais on est là dans de la mathématique de haut vol.

On voit donc que la notion de "presque partout" est, comme il a été dit, lié à un contexte particulier qui peut être trés général.
Ainsi les fondements théoriques des probabilités s'appuient sur la théorie de la mesure qui permet de définir rigoureusement ce que sont des événements presque impossible ou presque certain.
On définit les mesures discrétes tel que la mesure de Dirac, la mesure de Haar en théorie des groupes et leurs représentations etc...

NB pour les non-français: tribu = sigma-algèbre.