Bonjour,

J'ai deux difficultés.

Question 1 :

Montrer que la fonction h : x → ln(1 + x) est continue en 0. 

Correction : La fonction h est définie sur ]−1 ; +∞[ et h(0) = ln (1) = 0. On doit démontrer la proposition suivante : 
∀  > 0 , ∃ η > 0 , ∀x ∈] − 1 ; +∞[ ,(|x| < η ⇒ | ln(1 + x)| < ε) 
Soit ε > 0. On résout l'inégalité | ln(1 + x)| < ε d'inconnue x pour trouver la borne η. 
| ln(1 + x)| < ε ⇔ −ε < ln(1 + x) < ε ⇔ e^−ε < 1 + x < e^ε ⇔ e^−ε − 1 < x < e^ε − 1 

On choisit η < min(|e^−ε − 1| ; |e^ε − 1|). Pourquoi un signe < et non un signe égal car on choisit  pourtant ? Et comment trouver ce  ? Pourquoi un minimum et pourquoi une valeur absolue ? 

Ainsi : |x| < η ⇒ e^−ε − 1 < −η < x < η < e^ε − 1 ⇒ | ln(1 + x)| < ε . 

Pourquoi a-t-on l'implication en rouge ?

Question 2 :

Je dois montrer que : 

>0, >0, xR, |x|< => |e^x-1|<. 

C'est-à-dire : -<x< => 1-<e^x<1+. 

Ce que j'ai fait : 

Si <1, on a : 

|e^x-1|<  1-<e^x<1+  ln(1-)<x<ln(1+) 

Ensuite, comment choisir  ? 

Si >1, on a : 

|e^x-1|<    1-<e^x<1+
 Je ne sais pas quoi écrire, car 1-<0 si >1, donc on ne peut pas prendre le ln de (1-)... 

Voilà mes deux problèmes. 

Quelqu'un pourrait-il m'aider à comprendre ? 

MERCI d'avance, j'ai contrôle tout à l'heure...

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Edité par Benjamin Letelier 3 mai 2018 à 15:44:02

Salut,

Pour ta première question, regarde la définition de la limite : il suffit qu'on trouve un \(\eta\), sa valeur importe peu. On veut juste savoir qu'il existe. Donc si tu dis "pour n'importe quelle valeur dans \(]a, b[\), ça fonctionne, tu peux prendre n'importe laquelle de ces valeurs, ce n'est pas important.

En revanche on ne peut pas utiliser l'égalité parce que si on prenait \(\eta = \min(|e^{-\epsilon} - 1|, |e^\epsilon -1|\), alors on aurait e^{-\epsilon} - 1\leq x \leq e^\epsilon -1\), or nous on veut une inégalité stricte.

Pour l'implication, on a \(|x| < \eta\) donc nécessairement \(-\eta < x < \eta\). Et comme on a choisi \(\eta\) tel que défini plus haut, on a aussi \(e^{-\epsilon}-1 < -\eta\) et \(\eta < e^{\epsilon}-1 \).

Pour ta deuxième question, globalement on s'intéresse surtout à ce qu'il se passe pour des petites valeurs de epsilon.

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Edité par melepe 4 mai 2018 à 12:34:29