Bonjour à tous, on me demande en fait de comparer la convergence de la série de la Fourier que j'observe en prenant en compte la discontinuité dans son intervalle fondamental,puis à là fin de son intervalle. Idem pour les coins de la fonction. La discontinuité ici est synonyme de sursaut.
Par contre dans la courbe qui suit je remarque qu'il n'y a pas de sursaut:
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Merci de m'aider svp

Bonjour,
je ne sais pas si ce qui suit répond à ta question dont je ne suis pas sûr d'avoir compris totalement le sens mais il existe un théorème fondamental bien connu donnant la condition suffisante suivante:

Si <math>\(f(x)\)</math> est une fonction périodique de période T ,continue par morceaux (1) , et admet en chaque point une dérivée à droite et à gauche, alors la série de Fourier de <math>\(f\)</math>(2) converge en <math>\(x\)</math> vers <math>\(\[ \dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2} \]\)</math>
Evidemment en tout point de continuité, elle converge vers <math>\(f(x)\)</math>

(1)c.a.d admet un nombre fini de discontinuités sur tout intervalle borné avec des discontinuités de première espèce (c.a.d. <math>\(f(x+0)\)</math> et <math>\(f(x-0)\)</math> existent

(2) série de Fourier dont les coefficients sont calculés selon les expressions intégrales usuelles ( qui existent puisque <math>\(f\)</math> est sommable sur tout intervalle <math>\([a,a+T]\)</math> compte tenu des hypothèses précédentes)

Bonsoir,
Si je décrypte correctement les figures suite à ton Edit

1- le premier cas est un exemple classique de fonction continue par morceaux avec une discontinuité de première espèce aux points <math>\(x=2k\pi +1\)</math> ( avec un saut fini)
Et c'est une claire illustration du théorème que j'ai rappelé.
On converge vers la fonction ( segments de droite successifs , sauf en <math>\(x=2k\pi +1\)</math> où on converge à la moitié du saut.

2- le second cas est différent, la fonction proposée malgré sa forme "aigue" est continue en <math>\(x=2k\pi +1\)</math>.
Toujours conformément au théorème, la série converge vers la valeur de <math>\(f(x)\)</math> en ces points ( ceci bien que la dérivée ne soit pas continue mais elle existe à droite et à gauche) et donc en tout point de R finalement.

Bonsoir,
je comprend pas d'ou vient cette valeur <math>\(x=2k\pi+1?\)</math>

Bonsoir,
excuse c'est une erreur de frappe (...facile à corriger)
c'est bien sûr <math>\((2k+1)\pi\)</math> pour les points de discontinuité si je lis bien les abscisses

Si j'ai bien compris selon toi la 2ème fonction(en bleue) n'est pas continue par morceau . Mais pourquoi dis-tu qu'elle est continue aux points <math>\(x=(2k+1)*\pi\)</math> alors qu'elle n'est pas définie en ces points.Selon moi il existe une limite à gauche qui est différente de celle à droite. La fonction en question vaut <math>\(x^4 dans ]-\pi,\pi[\)</math>

Bonjour
Je ne comprends pas pourquoi tu dis que la seconde fonction n'est pas définie aux points <math>\((2k+1)x\)</math> définissant les extrémités des intervalles périodiques successifs.Elle n'est pas simplement continue par morceaux comme la première mais continue tout simplement
...si cette fonction est bien celle que tu indiques définie par <math>\(x^4\)</math> dans l'intervalle de référence,( et de période <math>\(2\pi\)</math> ) ,elle vaut <math>\(\pi^4\)</math> à droite et à gauche en ces points ;
Un point anguleux n'est pas un point de discontinuité et cette seconde fonction est bien continue sur tout R. Comme je l'ai indiqué, c'est seulement la dérivée qui n'est pas continue mais définie à droite et à gauche ,
Seule la première fonction est continue par morceaux, donc discontinue en <math>\((2k+1)x\)</math>.

C'est bien , je suppose,le but de la comparaison demandée dans l'exercice:
constater la différence de convergence de la série aux extrémités de l'intervalle lorsqu'il y a continuité ou simplement continuité par morceaux de la fonction périodique en ces points
( as tu étudié en cours le théorème général que j'ai rappelé et sa démonstration?)

Ta deuxième fonction est bien continue en <math>\(x=(2k+1)\pi\)</math>, si tu regardes bien, la limite à gauche et le limite à droite sont bien égale; par contre, elle n'est pas dérivable en ces points: cette fois ci, la limite à droite de la dérivée sera différente de la limite à gauche de la dérivée.

Pour une vision intuitive de la continuité, dis toi que la fonction est continue si tu peux tracer sa courbe sans lever ton stylo et sans droite verticale.

Et pour en revenir à ta question de départ concernant les sursauts aux points de discontinuité, il s'agit du phénomène de Gibbs

Edit: Bon je laisse le début de mon post même si Nabucos a répondu avant moi... grilled comme d'hab'

Je dis que la seconde fonction n'est pas définie aux points <math>\(x=(2k+1)\pi\)</math> parce que son domaine de définition est:
<math>\(](2k+1)\pi,(2k+1)\pi+2\pi[\)</math> .J'ai défini ainsi ma fonction sur maple:
<math>\(x^4*(u(x+Pi)-u(x-Pi))\)</math> dans <math>\(]-\pi,\pi[\)</math> avec u la fonction de Heaviside
Et la limite de cette fonction en <math>\(\pi\)</math> à gauche me donne <math>\(\pi^4\)</math> et à droite 0
@nabucos non le théorème général on l'a pas appris

Tu es d'accord que si tu calcules <math>\(x^4\)</math> pour <math>\(\pi\)</math>, tu obtiens <math>\(\pi^4\)</math> et si tu calcules <math>\((x-2\pi)^4\)</math> pour <math>\(\pi\)</math> tu obtiens encore <math>\(\pi^4\)</math> - <math>\(x \mapsto x^4\)</math> correspond à la définition de ta fonction entre <math>\(-\pi\)</math> et <math>\(\pi\)</math> et <math>\(x \mapsto (x-2\pi)^4\)</math> à ta fonction entre <math>\(\pi\)</math> et <math>\(3\pi\)</math> (c'est simplement le translaté de <math>\(2\pi\)</math> de la première fonction. Et ce sera la même chose pour tous les autres points "critiques". Tu peux le définir comme ça sur maple je pense...
Ta fonction est donc bien continue.

Oula vu de cette façon cela parait logique. Toutefois pourrais-tu m'en dire plus sur les points anguleux dont parlait nabucos ?

Pour une fonction continue, le fait d'avoir une sorte d'angle - une brisure sur la courbe, comme par exemple la fonction <math>\(x \mapsto |x|\)</math> en 0, signifie que ta fonction n'est pas dérivable en ce point dans le sens où la dérivée à gauche sera différente de la dérivée à droite en ce point.

Plus ta fonction est dérivable, plus sa courbe aura l'air lisse ("smooth" comme dirait les anglo-saxons) alors quand ta fonction est continue mais que sa dérivée a un point de discontinuité, cela se traduit par un "angle", un changement brut de la direction de la courbe du fait que tu as des tangentes complètement différentes à gauche et à droite de ce point.

Donc pour résumer aux points <math>\(x=(2k+1)\pi\)</math> la fonction n'admet pas dérivée

Tout à fait, ta fonction a une dérivée à gauche, et une dérivée à droite en <math>\((2k+1)\pi\)</math> mais elle sont différentes, donc elle n'est pas dérivable en ces points.

Je viens d'en apprendre beaucoup grâce à vous, je vous en remercie infiniment toi et nabucos :).
Une dernière question "point anguleux" ca veut bien dire "corner" en anglais?

Oui, c'est bien un des mots employés en anglais !

Thank you very much

La définition donnée par Nabucos tout au début correspond en réalité aux fonctions appartenant à l'espace de Dirichlet.

Voici le théorème associé : Théorème_de_Dirichlet_sur_la_convergence_des_séries_de_Fourier

Par théorème tu as :
Si f est 2π périodique et continue par morceaux et que la série de ses coefficients de Fourier converge absolument, alors la série de Fourier converge normalement (et donc uniformément mais pas nécessairement vers f ).

Si f est <math>\(C^{1}\)</math> par moreaux et 2π périodique alors pour tout réel x on a : <math>\(\lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=-n}^{n}c_{k}(f)e^{ikx} = \frac{f(x)^{+} + f(x)^{-}}{2}\)</math>

Et si tu rajoutes l'hypothèse de continuité de f, tu obtiens que <math>\(x \mapsto \sum c_{k}(f)e^{ikx}\)</math> converge uniformément vers f.

Ceci est assez facile à se représenter finalement, et paraît assez logique lorsque l'on a quelques notions sur la théorie de la mesure et des distributions (on voit par exemple sur ton second schéma des pics de dirac qui montre que ta fonction converge simplement vers 0 mais pas uniformément, et donc il est logique qu'on observe un phénomène de Gibbs plus important au niveau de ces pics).

Je pense qu'avec ces 3 théorèmes de convergence tu peux t'en sortir dans tous les cas.