Salut tous,

récemment je vous ai bombardé de questions sur les normes, vecteurs, matrices, EV... maintenant je vais être un peu plus light dans mes questions, ça va être un peu plus appliqué:

I) Convergence
=> je voudrais comprendre(et démontrer) le théorème de Lax qui dit qu'un schéma est convergence si il est stable et consistance.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lax

=> ceci afin de l'appliquer à une récurrence du type [A] n'est pas forcement diagonale ou symétrique:
<math>\(\vec{X_{n+1}}=\vec{\vec{A}}.\vec{X_{n}}\)</math>
qui peut donc s'écrire aussi (si je me trompe pas): <math>\(\vec{X_{n+1}}=\vec{\vec{A}}^n.\vec{X_{0}}\)</math>

je vais mettre quelques élèments que j'ai cru comprendre et j'aimerai, si ça vous dérange pas, que vous me corrigiez/compléter.

1°) tout d'abord, d'après ce que j'ai compris, si on veut étudier la convergence d'une telle récurrence il faut étudier comment ce comporte <math>\(||\vec{X_{n+1}}-\vec{X_{n+1}}||\)</math>
c'est bien ça ?

2°) si je prends la norme de ceci, qui doit pouvoir écrire ?:
<math>\(||\vec{X_{n+1}}-\vec{X_{n}}||=||\vec{\vec{A}}^n.(\vec{X_{1}}-\vec{X_{0}})||\)</math>

pour que cette suite converge il faut qu'elle soit bornée or on a d'après les propriété d'une norme
<math>\(||\vec{X_{n+1}}-\vec{X_{n}}||=||\vec{\vec{A}}^n||.||(\vec{X_{1}}-\vec{X_{0}})||\)</math>

on va prendre la norme 2 car on sait que pour une matrice <math>\(||\vec{\vec{A}}||_2=\sqrt{\rho(A^T.A)}\)</math> (<math>\(\rho\)</math> représente le rayon spectral de la matrice)

3°) jusqu'ici je pense ne pas mettre trompé, par contre avec l'utilisation du rayon spectral on doit pouvoir dire que ça permet d'écrire ? pourquoi ?

<math>\(||\vec{X_{n+1}}-\vec{X_{n}}||<=\sqrt{\rho(A^T.A)}.||(\vec{X_{1}}-\vec{X_{0}})||\)</math>
et que notre <math>\(||\vec{X_{n+1}}-\vec{X_{n}}||\)</math> est borné (donc il y a convergence ?)

4°) tous ceci ça va (si je considère que j'ai compris le 3°... ce qui n'est pas le cas )
- par contre, à quel moment on parle de stabilité ici ou de consistance ? comme dans le théorème de Lax...
- j'avais entendu dans mes cours qui datent de longtemps... qu'il y a stabilité que si le rayon spectral est inférieur à 1... je ne comprends pas pourquoi ...
j'avais entendu aussi d'un lien entre conditionnement et stabilité (mais ça j'en suis pas sur du tout...)

II) Conditionnement

Le conditionnement d'une matrice [A] est donné par (la démonstration est donné par rushia ici http://sciences.siteduzero.com/forum-8 [...] html#r7044267 ):

<math>\(cond(A)=||A^{-1}||.||A||\)</math>

par contre on peut exprimer aussi ce conditionnement en fonction des valeurs propres de la matrice A (et du rayon spectral..)

comme j'ai un peu de mal avec les normes de matrices, j'aimerai que vous m'aidiez là dessus ...

je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter

Salut,

J'ai dit des bêtises.

Il te faut montrer que la suite est de Cauchy pour montrer qu'elle converge. Pour ça tu montre que la différence entre 2 termes de la suites se met sous la forme de somme de série géométrique de raison <math>\(\sqrt{\rho(A^T.A)}\)</math> d'où le rayon spectral strictement inférieur à 1.

Pour ce qui est du consistance d'après ce que j'ai lu ça veux dire que ton opérateur différentiel réel est dérivable est approché "correctement".

Selon une fois encore ce que j'ai lu, le conditionnement permet de quantifier les erreurs mais je ne vois pas le lien avec la stabilité et je crois qu'il n'y en a pas.

merci pour cette première réponse, c'est gentil d'avoir pris le temps de répondre

Citation : matovitch

Il te faut montrer que la suite est de Cauchy pour montrer qu'elle converge.

aie comment faire ça ... ?

Citation : matovitch

Pour ça tu montre que la différence entre 2 termes de la suites se met sous la forme de somme de série géométrique de raison <math>\(\sqrt{\rho(A^T.A)}\)</math>

ok, pourquoi pas... mais je ne vois pas comment (le pourquoi c'est le point suivant)

Citation : matovitch

d'où le rayon spectral strictement inférieur à 1.

si j'ai une suite geométrique j'ai : <math>\(U_{n+1}=q.U_{n}\)</math> ? si la raison "q" est 1 alors j'ai <math>\(U_{n+1}=U_{0}\)</math> ?

Citation : matovitch

Pour ce qui est du consistance d'après ce que j'ai lu ça veux dire que ton opérateur différentiel est dérivable

moi la consistance j'ai lu que c'était (pour une méthode de différence finie http://fr.wikipedia.org/wiki/Consistance_(math%C3%A9matiques)):
- plus tu discrétise plus l'erreur temps vers 0 (dans notre cas j'arrive pas vraiment à faire l'extension..)

Citation : matovitch

(c'est quand même mieux quand on veut utiliser une approximation affine ).
<citation>

qu'appel tu une approximation affine? pour moi ça veut dire faire passer une droite au milieu de points...

<citation rid="7061526">
Selon une fois encore ce que j'ai lu, le conditionnement permet de quantifier les erreurs mais je ne vois pas le lien avec la stabilité et je crois qu'il n'y en a pas.

pour le conditionnement on est bien d'accord. Par contre j'ai lu qu'un schéma est convergent si il est stable + consistant. Or la stabilité (numérique) est la capacité à ne pas amplifier les erreurs au cours du calcul.

Du coup, je me dis que si on est mal conditionné on va avoir des erreurs importantes qui auront peut être plus de chance d'être amplifiée (raisonnement peut etre surement tout à fait faux... mais je voudrais en être certain)

Citation : 21did21

qu'appel tu une approximation affine? pour moi ça veut dire faire passer une droite au milieu de points..

Non ça c'est ce qu'on appelle une régression linéaire. Une approximation affine c'est lorsque l'on approxime une courbe par sa tangente. (ex : <math>\(\sqrt\)</math> en <math>\(1\)</math> par <math>\(t\mapsto \frac{t}{2}+1\)</math>)

Le conditionnement c'est pas toi qui le fixe...ça dépend du système différentiel, mais tu peux quantifier les erreurs grâce à elle.

(j'ai effacé un contenu pour le moins douteux )

Citation : matovitch

Citation : 21did21

qu'appel tu une approximation affine? pour moi ça veut dire faire passer une droite au milieu de points..

Ah ok merci
par contre, pour le coup, je ne vois pas de tangent par ici

Citation : matovitch

Le conditionnement c'est pas toi qui le fixe...ça dépend du système différentiel, mais tu peux quantifier les erreurs grâce à elle.

tout à fait d'accord. Mais je me demandais si ça ne pouvais pas jouer aussi sur la stabilité (vu la definition que j'en ai donné de la stabilité...)

a suivre...

Citation : 21did21

Citation : matovitch

Pour ça tu montre que la différence entre 2 termes de la suites se met sous la forme de somme de série géométrique de raison <math>\(\sqrt{\rho(A^T.A)}\)</math>

ok, pourquoi pas... mais je ne vois pas comment (le pourquoi c'est le point suivant)

On veut montrer que la suite <math>\((X_n)\)</math> est de Cauchy. Or <math>\(X_n=X_0 +\sum_{k=0}^{n-1} (X_{k+1}-X_k)\)</math>. Cela revient donc à montrer que la suite <math>\(\left( \sum_{k=0}^{n-1} (X_{k+1}-X_k) \right)_{n \in \mathbb N}\)</math> est de Cauchy.

Intéressons-nous pour commencer à la suite <math>\(\left( \sum_{k=0}^{n-1} || X_{k+1}-X_k || \right)_{n \in \mathbb N}\)</math>. Je note <math>\(q = \sqrt{\rho(^t A A)} <1\)</math>.
On a <math>\(\sum_{k=0}^{n-1} || X_{k+1}-X_k || \leq \sum_{k=0}^{n-1} q^k ||X_1 - X_0 || = \frac{1-q^n}{1-q} ||X_1 - X_0|| \leq\frac{||X_1-X_0||}{1-q}\)</math>.
La suite <math>\(\left( \sum_{k=0}^{n-1} || X_{k+1}-X_k || \right)_{n \in \mathbb N}\)</math> est donc croissante et majorée : elle converge. A fortiori, elle est de Cauchy.


Maintenant, montrons que <math>\(\left( \sum_{k=0}^{n-1} (X_{k+1}-X_k) \right)_{n \in \mathbb N}\)</math> est de Cauchy. Soit <math>\(\epsilon > 0\)</math>. Comme <math>\(\left( \sum_{k=0}^{n-1} || X_{k+1}-X_k || \right)_{n \in \mathbb N}\)</math> est de Cauchy, il existe <math>\(N \in \mathbb N\)</math> tel que pour tous <math>\(p,q \geq N, \sum_{k=p}^{q-1} || X_{k+1}-X_k || \leq \epsilon\)</math>.
Alors pour tous <math>\(p,q \geq N, || \sum_{k=0}^{q-1} (X_{k+1}-X_k) - \sum_{k=0}^{p-1} (X_{k+1}-X_k) || = || \sum_{k=p}^{q-1} (X_{k+1}-X_k) || \leq \sum_{k=p}^{q-1} || X_{k+1}-X_k || \leq \epsilon\)</math>. La suite est bien de Cauchy.

Comme on travaille dans un espace de Banach, <math>\((X_n)\)</math> converge.

merci pour cette réponse, j'ai compris le principe à présent