salut tout le monde, c'est à propos d'une démonstration d'un exercice que j'ai réalisé ya pas longtemps, je je pense qu'elle n'est pas correcte
ENONCE : Soit <math>\(r \in \mathbb{Q}\)</math>. Montrer qu'il existe une suite d'irrationnels qui converge vers <math>\(r\)</math>
SOLUTION : <math>\(\complement_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}\)</math> est dense dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>.
<math>\(\Rightarrow \forall \epsilon > 0, ]r-\epsilon, r+\epsilon[ \cap \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \neq \varnothing\)</math>
<math>\(\Rightarrow \forall n > 0, ]r-n, r+n[ \cap \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \neq \varnothing\)</math>
<math>\(\Rightarrow \forall n > 0, \exists x_n \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}, r-n < x_n < r+n\)</math>
<math>\(\Rightarrow -n < x_n - r < n \Rightarrow |x_n - r| < n \Rightarrow x_n \to r\)</math>
je pense que l'erreur est sur le niveau de la dernière inégalité, elle doit être vérifié pour tous les réels strictement positifs (tous les <math>\(\epsilon\)</math>) et non pas pour tous les entiers naturels comme j'ai fait pour pouvoir passer à la convergence, alors il va falloir que je pose <math>\(n\)</math> en fonction de <math>\(\epsilon\)</math> et garder l'inégalité pour conclure. c'est là que je bloque.

Tout est juste sauf l'implication finale : le fait de majorer une suite par une suite qui tend vers l'infini ne prouve rien.
Pour prouver ce que tu veux je pense que tu peux prendre une suite qui tend vers r comme par exemple <math>\((r+\frac{\sqrt{2}}{n})_{n>0}\)</math> et prouver que c'est bien une suite d'irrationnels ( ça se fait bien avec un raisonnement par l'absurde ici )

Bonsoir,

L'implication finale est fausse je pense.Je suggère une démonstration assez différente qui consiste à construire explicitement une suite qui converge vers <math>\(r\)</math>
... en espérant ne pas me fourvoyer(*).
Considérons d'abord un rationnel <math>\(r\)</math> positif.
Considérons la suite de nombres réels définie par la récurrence suivante:
<math>\(x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{r^2}{x_n})\)</math> où on choisit <math>\(x_1\)</math> irrationnel
Les termes sont supérieurs à <math>\(r\)</math>. En effet:

<math>\(\frac{1}{2}(x_n+\frac{r^2}{x_n}) \geq \sqrt{x_n.\frac {r^2}{x_n}}=r\)</math> en utilisant l'I.A.G.
Par ailleurs <math>\(x_{n+1}-x_n = \frac{1}{2}\left( \frac{r^2-x_n^2}{x_n} \right)\leq 0\)</math> compte tenu de ce qui précéde.
La suite est donc décroissante et minorée par r.
Elle posséde donc une limite et on sait que la limite l vérifie <math>\(l=\frac{1}{2} (l+\frac{r^2}{l})\)</math> d'où <math>\(l=r\)</math>.
Si - r est maintenat un rationnel négatif on tient un raisonnement symétrique avec la suite croissante <math>\(x_{n+1}=\frac{1}{2}(-x_n-\frac{r^2}{x_n})\)</math> majorée par <math>\(-r\)</math>
Edit(*)
à la réflexion, ce que je construis converge vers r, mais la suite est elle strictement irrationnelle? En tout cas je ne le montre pas et c'est sans doute moins simple que pour la suite suggérée par rom1504 que je viens de découvrir
...ce qui s'appelle se compliquer lavie!

En tout cas c'est assez simple de montrer que ma suite est bien à terme irrationnel :
Supposons qu'il existe n>0 et z rationel tel que <math>\(r+\frac{\sqrt{2}}{n}=z\)</math>
Alors <math>\(\sqrt{2}=n(z-r)\)</math>, <math>\(n(z-r)\)</math> est rationnel, or <math>\(\sqrt{2}\)</math> est irrationnel, on a donc une contradiction.
Donc la suite est bien à terme irrationnel.

en effet, la suite posée par rom1504 répond à la question en qlq lignes clairement

Sinon, ta solution initiale marche, à condition de remplacer n par 1/n.

yep, ça ne m'est pas venu à l'esprit à cet instant, <math>\(\frac{1}{n} \to 0\)</math> et <math>\(|x_n - r| < \frac{1}{n}\)</math> alors <math>\(x_n \to r\)</math>