Bonjour,

J'ai un petit souci. Imaginons que j'ai un point et que je connais l'équation d'un plan avec ses deux vecteurs directeurs et un vecteur normal.
J'ai du mal à trouver les coordonnées d'un point P par rapport à ces trois vecteurs.
Pour l'instant, je me sers de ces trois vecteurs(<math>\(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{n})\)</math> comme repère avec A comme origine

J'ai donc l'équation; <math>\(\vec{AP} = \alpha*\vec{AB} + \beta*\vec{AC} + \gamma*\vec{n}\)</math>
Je multiplie par <math>\(\vec{AB}\)</math> d'une part et <math>\(\vec{AC}\)</math> d'autre part. J'ai donc deux nouvelles équations:
<math>\(\vec{AP}.\vec{AB} = \alpha*AB^2 + \beta*\vec{AC}.\vec{AB}\)</math>
<math>\(\vec{AP}.\vec{AC} = \alpha*\vec{AB}.\vec{AC} + \beta*AC^2\)</math>

Et puis après je sais pas comment faire pour trouver les trois coeff.
Si vous avez une autre méthode, je suis partant aussi.
Merci d'avance.

Petite erreur dans ta deuxième équation. Ce n'es pas par le vecteur AB que tu multiplie mais par AC.
Je suis en train de réfléchir également, je te fais signe, si je trouve quelque chose.
Petites précisions à fournir :
- Tu considères P dans le plan (ABC) ou alors dans l'espace ?
- Le plan <math>\((A; \vec{AB}; \vec{AC} )\)</math> est orthonormal ?

Petite question : tu veux trouver les coefficients en fonction de quoi ? Je ne sais pas si j'ai bien compris ton problème...

Le point P est dans l'espace et le repère est quelconque :). Les coefficients sont des réels comme un point qui aurait pour coordonnées (1,2,3), ses coefficients sont 1,2,3.
Merci :D.

Je suppose que tu as un repère préétabli disons <math>\($(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$\)</math>. Tu connais les coordonnées de A,B,C,P et du vecteur n dans ce repère.
Donc tu dois calculer comment passer d'un repère à un autre.
Je m'explique: tu as les équations suivantes
<math>\($\vec{AB}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ \\ $\vec{AC}=d\vec{i}+e\vec{j}+f\vec{k}$ \\ $\vec{n}=g\vec{i}+h\vec{j}+l\vec{k}$\)</math>
Tu exprimes donc <math>\($\vec{i}$\)</math>, <math>\($\vec{j}$\)</math> et <math>\($\vec{k}$\)</math> en fonction de <math>\($\vec{AB}$\)</math>, <math>\($\vec{AC}$\)</math> et <math>\($\vec{n}$\)</math> ce qui te permettra de passer directement du repère canonique au repère <math>\($(O,\vec{AB},\vec{AC},\vec{n})$\)</math>

[Edit]Pour résoudre ce système, tu peux procéder par substition, par exemple, dans la première ligne <math>\($\vec{k}=\frac{1}{c}\vec{AB}-\frac{a}{c}\vec{i}-\frac{b}{c}\vec{j}$\)</math> (à condition que c soit non nul bien sûr ) etc, etc... ou sinon, si tu t'y connais en matrices, tu calcules la matrice de changement de base[\Edit]

Ensuite, tu as <math>\($\vec{AP}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$\)</math>, et il ne te reste plus qu'à remplacer ces vecteurs par leur expression dans le nouveau repère et de mettre les coefficients en facteur de <math>\($\vec{AB}$\)</math>, <math>\($\vec{AC}$\)</math> et <math>\($\vec{n}$\)</math>, et le tour est joué !

Sinon, en partant des deux équations auxquelles tu t'étais arrêté :
<math>\(\vec{AP}.\vec{AB} = \alpha*AB^2 + \beta*\vec{AC}.\vec{AB}\)</math>
<math>\(\vec{AP}.\vec{AC} = \alpha*\vec{AB}.\vec{AC} + \beta*AC^2\)</math>

Je suppose que tu connais les valeurs des différents produits scalaires suivants :
<math>\(\vec{AP}.\vec{AB}=u\)</math>
<math>\(\vec{AP}.\vec{AC}=v\)</math>
<math>\(AB^2=a\)</math>
<math>\(\vec{AC}.\vec{AB}=b\)</math>
<math>\(\vec{AB}.\vec{AC}=c\)</math>
<math>\(AC^2=d\)</math>

Tu dois résoudre le système suivant :
<math>\(a\alpha+b\beta=u\)</math>
<math>\(c\alpha+d\beta=v\)</math>

Par exemple en utilisant les formules de Cramer (il y a bien que pour les systèmes 2x2 qu'elles servent) :
<math>\(\alpha = \frac{ud-vb}{ad-cd}\)</math>

<math>\(\beta = \frac{av-cu}{ad-cd}\)</math>

Ensuite, tu as <math>\(\gamma\vec{n} = \vec{AP}-\alpha\vec{AB}-\beta\vec{AC}\)</math>, tu peux donc facilement trouver <math>\(\gamma\)</math> en passant à la norme :
<math>\(\gamma=\frac{||\vec{AP}-\alpha\vec{AB}-\beta\vec{AC}||}{||\vec{n}||}\)</math>

Merci bien :). Les deux méthodes sont sympa.

Je viens de constater une légère erreur dans la méthode que je propose. Vers la fin, en passant à la norme, on n'obtient que la valeur absolue de <math>\(\gamma\)</math>, on perd donc l'information sur son signe. Cela dit, une méthode plus simple consiste à regarder une seule des coordonnées (par exemple l'abscisse) de <math>\(\vec{AP}-\alpha\vec{AB}-\beta\vec{AC}\)</math> et de diviser par la coordonnée correspondante de <math>\(\vec{n}\)</math>.

Par exemple, si <math>\(\vec{AP}-\alpha\vec{AB}-\beta\vec{AC}=(-8,24,-16)\)</math> et <math>\(\vec{n}=(1,-3,2)\)</math>.
si on regarder l'abscisse on trouve <math>\(\gamma=\frac{-8}{1}=-8\)</math>
si on regarder l'ordonnée on trouve <math>\(\gamma=\frac{24}{-3}=-8\)</math>
si on regarder la côte on trouve <math>\(\gamma=\frac{-16}{2}=-8\)</math>