Bonjour à tous,

Dans le cadre du calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle on a appris à la décomposer en éléments simples pour ensuite trouver la primitive.

Par exemple la fraction rationnelle <math>\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)</math> avec <math>\(P(x)\)</math> un polynôme du premier degré et <math>\(Q(x)\)</math> un polynôme du second degré se simplifie en <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math> si <math>\(Q(x)\)</math> admet un discriminant positif.

Jusque là tout va bien.

Mais après on me dit que la fraction peut se décomposer ainsi : <math>\(\frac{A}{x-x_0} + \frac{B}{x-x_1}\)</math>
alors je ne comprends pas où est passé le coefficient <math>\(a\)</math> et je ne comprends pas pourquoi la décomposition n'est pas : <math>\(\frac{A}{a(x-x_0)(x-x_1)} + \frac{B}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math>

Maintenant si <math>\(Q(x)\)</math> est un polynôme du second degré admettant un discriminant nul il peut se factoriser en <math>\(a(x-x_0)^2\)</math>.
Pareil jusque là aucun problème, on peut écrire cette fraction : <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)^2}\)</math>

Mais après on me dit que la fraction peut se décomposer ainsi : <math>\(\frac{A}{x-x_0} + \frac{B}{(x-x_0)^2}\)</math>

Alors là je ne comprends pas deux choses.
Pareil où est passé le coefficient <math>\(a\)</math> du dénominateur et surtout pourquoi le dénominateur de la première fraction est <math>\(x-x_0\)</math> et pas <math>\((x-x_0)^2\)</math> comme pour la deuxième partie de la fraction ?

Ainsi si on additionne les deux on retombe sur le dénominateur commun et donc sur notre fraction de départ.

Merci de vos réponses. C'est sans doute tout bête.

Salut,

Alors sans entrer dans plein de calculs quelques explications :

- Où est donc passé le a ? Quand tu décomposes en éléments simples, tu vas chercher à déterminer A et B en fonction de ta fraction rationnelle de départ : <math>\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)</math> ici <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math>. Je peux choisir de factoriser par a puis de ne considérer que le polynôme : <math>\(\frac{P(x)}{(x-x_0)(x-x_1)}\)</math>, je déterminerais alors A et B mais ceci n'aurait pas la même valeur que le A' et B' de la décomposition de <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math>. Il serait d'ailleurs égaux à une constante près ici : <math>\(\frac{1}{a}\)</math>. Ici a n'est qu'une constante donc pas très dérangeant.

- Pourquoi <math>\(\frac{A}{x-x_0} + \frac{B}{x-x_1}\)</math> et pas <math>\(\frac{A}{a(x-x_0)(x-x_1)} + \frac{B}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math> ?

Déjà A et B dans ce cas sont des nombres et si tu regroupes les deux expressions tu te retrouves avec <math>\(\frac{A+B}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math>, or ici rien ne dit que <math>\(P(x)\)</math> est un polynôme constant (de degré 0).

En faites je ne connais pas la preuve exacte de pourquoi on a pu décomposer sous la forme <math>\(\frac{A}{x-x_0} + \frac{B}{x-x_1}\)</math>, mais si tu mets tout au même dénominateur et que tu additionnes tu retrouves donc expression de départ, ce qui montre que c'est la bonne décomposition.

- Pour le cas d'une racine double, c'est la même chose pour le a.

Ce n'est pas une démonstration rigoureuse mais plutôt des points d'explications de la manière dont je les ai moi même compris.

Merci pour ta réponse.

Mais comme tu le dis, si on ne met pas le a au dénominateur si on met tout au même dénominateur et qu'on additionne on ne retrouve plus l'expression de départ car il n'y a plus le a, non ?

Et pour le cas d'une racine double si on met tout au même dénominateur on a du degré trois et plus du deux donc ça ne va pas. Si ?

Bonsoir,
Si <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)(x-x_1))}\)</math> , avec P(x) de degré 1; la décomposition est bien de la forme :
<math>\(\frac{A}{ (x-x_0 )} + \frac{B}{ (x-x_1 )}\)</math>
où A et B sont des constantes .
En fait la constante <math>\(a\)</math> n'est vraiment pas un problème et on peut la supposer intégrée dans A ou B ou dit autrement effectuer la décompostion avec au numérateur <math>\(P_1(x)=P(x)/a\)</math>
Par contre <math>\(\frac{A}{a(x-x_0)(x-x_1))}+\frac{B}{a(x-x_0)(x-x_1))}\)</math> ne peut en aucun cas représenter ta fraction de départ puisque elle vaut tout simplement <math>\(\frac{A+B}{a(x-x_0)(x-x_1)}\)</math> et A et B ne peuvent être des constantes puisque le numérateur doit valoir <math>\(P(x)\)</math>
Il faut bien avoit en tête que le but de la décomposition est d'avoir une somme de fractions décomposées dont le numérateur est une constante ( ce qui permet ensuite par exemple en calcul intégral une intégration immédiate de chaque terme.)
Ta deuxième question montre que tu n'as peut être pas totalement assimilé ce fait
La fraction <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)^2}\)</math>
est dite avoir un pôle d'ordre 2 et sa décomposition simple aura toujours , avec P(x) de degré 1 , un terme de degré 1 et un terme de degré 2
En réduisant au même dénominateur tu va obtenir au numérateur
<math>\(A(x-x_0)+B\)</math> et dans ce cas simple pouvoir calculer A et B par identification avec <math>\(P(x)\)</math>
C'est la seule façon d'avoir des constantes au numérateur et pouvoir ensuite intégrer facilement.
D'une façon générale une fraction <math>\(\frac{P(x)}{a(x-x_0)^n}\)</math> a un pôle dit d'ordre n et aura n termes de degré 1 à n , certaines constantes pouvant éventuellement être nulle selon la valeur du polynôme <math>\(P(x)\)</math>

En fait pour moi le <math>\(A + B\)</math> au numérateur est égal à <math>\(P(x)\)</math>.
Je ne vois pas pourquoi d'un coup on pose A et B comme ça.

Bonsoir,

Citation : Craw

En fait pour moi le <math>\(A + B\)</math> au numérateur est égal à <math>\(P(x)\)</math>.
Je ne vois pas pourquoi d'un coup on pose A et B comme ça.

parce que c'est le but même de la décomposition en éléments simples, trouver des constantes pour que la fractions de départ s'écrive sous cette forme.
Si la décomposition n'est pas de cette forme, on ne sait pas intégrer directement la fraction.
Ce qui te "choque" peut être , c'est la façon qui semble erbitraire de poser cela a priori.
Mais on montre que cette décomposition existe bien et est unique.
Il faudrait peut être approfondir cela en regardant un cours sur la décomposition des fractions rationnelles .

Ok je vais voir ça de plus près.

Merci en tout cas.

PS : je viens de comprendre en relisant bien vos explications, merci. Sujet résolu.

Je UP ce topic car je viens de faire un exercice sur ce sujet et je ne vois pas où est mon erreur.

J'essaye de trouver la primitive de <math>\(\frac{x+2}{4x^2+4x+1}\)</math>

Donc je commence par décomposer la fraction.

<math>\(4x^2+4x+1\)</math> admet un discriminant nul, une double racine qui est <math>\(x = -\frac{1}{2}\)</math>
On peut factoriser <math>\(4x^2+4x+1\)</math> en <math>\(4(x+\frac{1}{2})^2\)</math>

Donc la fraction de départ peut se décomposer en <math>\(\frac{x+2}{4x^2+4x+1} = \frac{A}{4(x+\frac{1}{2})} + \frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2}\)</math>

En mettant tout au même dénominateur on arrive à <math>\(\frac{Ax+\frac{1}{2}A+4B}{4(x+\frac{1}{2})^2}\)</math>

Par identification on a <math>\(A = 1\)</math> et <math>\(B = \frac{3}{8}\)</math>

Donc la fraction de départ s'écrit <math>\(\frac{1}{4(x+\frac{1}{2})} + \frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^2}\)</math>

On a <math>\(\int \frac{x+2}{4x^2+4x+1} = \int \frac{1}{4(x+\frac{1}{2})} + \frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^2}\)</math>

<math>\(\frac{1}{4} \int \frac{1}{x+\frac{1}{2}} + \frac{3}{8} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2}\)</math>

Et une primitive de ça c'est <math>\(\frac{1}{4} ln |x+\frac{1}{2}| - \frac{3}{8x+4}\)</math>

Sauf que le corrigé dit qu'une primitive de notre fraction de départ c'est :

<math>\(\frac{1}{4} ln |2x+1| - \frac{3}{8x+4}\)</math>

Je ne vois pas pourquoi ln(2x+1), et je ne vois pas non plus mon erreur.
Ce qui est sûr c'est qu'en dérivant je ne retombe pas sur ma fraction de départ, donc il y a bien une erreur.

Donc pour en revenir au problème.

J'aime pas trop cette habitude de sortir le 4 car déjà tu obtiens une erreur dans ta décomposition en élement simples. Comme je l'avais dit un peu au dessus le a (ici a = 4) est en facteur de l'expression donc il est également en facteur de toute l'expression finale.

Tu as donc :

<math>\(\frac{x+2}{4x^2+4x+1} = \frac{1}{4}{(\frac{A}{(x+\frac{1}{2})} + \frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2})\)</math> ou plus simplement <math>\(\frac{A}{(2x+1)} + \frac{B}{(2x+1)^2}\)</math>

Ensuite ta méthode d'identification bien que bonne est très lourde et il existe des techniques beaucoup plus rapide pour trouver A et B. Pour B c'est facile tu multiples par le dénominateur de B ici <math>\((2x+1)^2\)</math> et tu te places en <math>\(\frac{-1}{2}\)</math> pour A il suffit de passer à la limite de ton expression multiplié par x.

On trouve B = 3/4 et A = 1/2.

On a donc <math>\(\frac{1}{4}{(\frac{1/2}{(x+\frac{1}{2})} + \frac{3/4}{(x+\frac{1}{2})^2})\)</math> ou <math>\(\frac{1/2}{(2x+1)} + \frac{3/4}{(2x+1)^2}\)</math>

Au final en intégrant chaque membre on a :

<math>\(\int{\frac{1/2}{(2x+1)}dx}\)</math> ou <math>\(\int{\frac{2/4}{(2x+1)}dx}\)</math>et on retrouve bien la primitive voulu.

Pour la seconde, c'est bon et c'est normal car on n'a pas la même expression dans le carré.

Edit : On remarque au départ départ que le numérateur est la dérivée du dénominateur à un coefficient près. (ici 1/4) donc tu as une expression de la forme <math>\(\frac{f'(x)}{f(x)}\)</math>qui s'intègre facilement en : <math>\(\frac{1}{4}ln(4x^2 + 4x +1)\)</math>

En fait, les deux primitives que tu donnes sont correctes, elles diffèrent seulement d'une constante : <math>\(\frac{1}{4}\ln |2x+1| = \frac{1}{4}\ln (2|x+\frac{1}{2}|)= \frac{1}{4} \ln |x+\frac{1}{2}| + \frac{\ln 2}{4}\)</math>.

Effectivement les deux primitives sont équivalentes, j'avais juste fait une erreur de signe en dérivant, ce qui faisait que je ne retombais pas sur la fraction de départ.
D'ailleurs je suis assez étonné de voir que ma fraction de départ prend une toute autre forme en dérivant.

Et à priori je procède ainsi dans la décomposition, même si c'est "lourd" tout simplement car j'y arrive ainsi, c'est une méthode comme une autre, après du moment que c'est bon ça ne pose pas trop de problèmes je pense.

Merci.

Concernant la remarque

Citation : ColasV

Edit : On remarque au départ départ que le numérateur est la dérivée du dénominateur à un coefficient près. (ici 1/4) donc tu as une expression de la forme <math>\(\frac{f'(x)}{f(x)}\)</math>qui s'intègre facilement en : <math>\(\frac{1}{4}ln(4x^2 + 4x +1)\)</math>

ça ne marche pas car <math>\(\frac{x+2}{4x^2 + 4x + 1} = \frac{1}{4}(\frac{x+2}{x^2 + x + \frac{1}{4}})\)</math>
Or, la dérivée de <math>\(x^2 + x + \frac{1}{4} = 2x + 1\)</math> différent de <math>\(x + 2\)</math>
On a donc pas la forme f'(x)/f(x)

Oui tu as raison j'ai vu le truc à l'envers et je n'ai pas vérifié ensuite. Merci.