Hello tout le monde !

Le forum des mathématiciens reçoit son lot de défis quotidiennement. Ne nous laissons donc pas impressionner, nous les physiciens, et montrons que nous sommes aussi capable de relever de petits défis.

Je vous propose donc un classique du web, la fameuse grille infinie de résistances proposée dans le webcomic XKCD. Je vous traduis la question en français.

On considère une grille régulière infinie de résistances identiques de <math>\(1~\Omega\)</math>, comme celle présentée sur la figure.



Voici les trois questions par ordre de difficulté:

• Quelle est la résistance équivalente entre le point rouge et le point bleu ?
• Donner une formule pour obtenir la résistance équivalente entre deux points quelconques de la grille.
• Généraliser au cas d'un maillage tri-dimensionnel plutôt que bidimensionnel.

Si vous n'avez une solution à proposer que pour une des trois questions n'hésitez pas à contribuer !

Pour ceux qui auraient besoin de se rafraichir la mémoire, vous pouvez trouver les règles de bases du calcul de résistances équivalentes sur wikipédia.

Amusez-vous bien !

P.S.: Comme on est sur le SdZ, je pense que personne ne crachera sur une résolution informatique du problème
P.S.2: Si des gens sont intéressés, je peux peut-être proposer des défis ludiques de ce type sur une base régulière.

Salut,
Bonne idée de lancer des défis sur la partie physique, car la partie math en abonde en ce moment.

Bon, je vais essayer de répondre, mais vu mon niveau en électronique et en math (2nd), je ne suis pas sûr du tout d'avoir bon :



EDIT : Mince, j'ai oublié de compter les résistances en dérivation :

Non non. Ce n'est pas la bonne réponse. Il faut bien sûr prendre en compte le reste du réseau de résistances. Pas uniquement celles qui sont sur le chemin "le plus court" entre les deux points. Toutes les résistances, aussi lointaine soient-elles, contribuent.

Dans ce cas, la résistance n'est-elle point infinie??

Non.

La résistance équivalente est de 2 ohms, non ?

Déjà, si on compte les chemins avec 3 résistances, on a trois chemins.
Sur chacun de ces chemins, la résistance est de 3ohms.
Donc trois chemins parallèle de 3 ohms, ca donne un ohm en résistance équivalente.

En faisant pareil pour les chemins de 5 résistances, je trouve 10 chemins de résistance 5, ce qui donne une résistance équivalente de 1/2 ohms.

J'imagine que ca continue en 1/4 , 1/8, 1/16...pour les chemins à 7, puis 9, 11 résistances (il ne semble pas y avoir de chemins avec un nombre pair de résistances).

Et la somme de tout donne 2.

Une petite astuce : le fait que le grillage soit infini permet de dire que arrive a un noeud, les 4 chemins sont équivalents!

Citation : Tadzoa

Une petite astuce : le fait que le grillage soit infini permet de dire que arrive a un noeud, les 4 chemins sont équivalents!

Approcher le problème en comptant les chemins me semble à priori très difficile. Même si intuitivement on se dit que c'est ce qu'il faudrait faire à cause des exemples usuels de petits circuits.

On sait que le courant est divisé par 3 à chaque branche, c'est comme ça que j'avais fait cet exercice, mais s'il existe une autre méthode j'écoute

Ta solution m'intéresse. Trouver une expression mathématique pour décrire tous les chemins possibles me semble assez complexe.

La solution que je connais à ce problème est d'utiliser les lois de Kirschoff à chaque noeud du réseau. On peut alors exprimer les courants entrants et sortants à chaque noeud. Ce qui donne une liste infinie d'équations sur les courants. Ou sur les potentiels à choix.

On peut mettre tout ça sous forme de matrice pour avoir une notation sexy.

Et là on a deux approches. Soit on est bon en math et on utilise l'analyse de Fourier pour résoudre le système d'équation.
Soit on attaque le problème numériquement sur une grille assez grande.

J'ai fait cet exo, dans le cas où les deux points sont aux bornes d'une même résistance. Il suffisait d'utiliser le théorème de superposition, un coup en faisant arriver un courant I au point rouge, et un coup en faisant partir un courant I du point bleu. Mais pour généraliser... ça m'a l'air bien galère.

Il existe un type de cerveau qui peut laisser tomber volontairement tout se qui se passe en son entourage pour se concentrer sur un problème intéressant. Ce qui m'a appelé a inventer ce nouveau sport : "Nerd Sniping".

Les solutions existent déjà sur internet.

Une des solutions a été de simuler avec Spice un maillage, de faire un script pour augmenter le nombre de résistances et s'approcher de l'infini.
Avec cela tu en déduis une courbe.

(Là je rajoute ma couche) Maintenant si tu prend suffisamment de point, vu que la courbe semble être exponentielle, tu peux essayer de l'approximer à une équation polynomiale qui te permettra alors d'extrapoler.

Autre remarque, il faut que tu mettes un point à chaque intersection, car électroniquement parlant sur le schéma actuel les résistances verticales et horizontales ne sont pas connectées




Loin de moi l'idée de vouloir "casser" l'esprit du problème mais bon c'est quand même d'un très bon niveau mathématique et physique, faut quand même rester sur un niveau plus faisable

(Et d'utilité pratique très faible en électronique )

Certains filtres en électronique sont basés sur des résistances maillées, mais peu nombreuses, cependant. Par contre, l'étude des circuits équivalents se rencontrent souvent en industrie pour le passage d'une catégorie à une autre ou sous forme de tests pour bien assimiler les transformations des circuits : Thevenin, Norton, Kenelly, etc. L'exemple classique étant le cube alimenté par ses 3 diagonales, en courant continu ou (et) en courant périodique.
Mais effectivement, l'utilisation des transformées de Fourier ou des intégrales doubles est peut-être un peu inopportun ici.

Je redéterre les vieux sujets mmhhh, ce problème est tout simplement intéressant ! Ça me fait penser aux problèmes de stats de spins sur réseaux, genre par exemple les réseaux 2D. Il faudrait que je me replonge dedans et voir si on peut adapter la philosophie du problème ici, sachant que là c'est bien plus complexe qu'Ising, vu qu'on a non pas une interaction entre proches voisins seulement, mais à travers tout le réseau.

J'ai presque envie de me passer dans un premier de temps des effets de bords du circuit, et de lui donner un aspect de donuts (hem de tore pardon), un peu à la sauce Ising.

Ensuite, voir si le problème possède - ou non - une quelconque dualité ce serait chouette d'avoir un espace dual à traiter, peut-être plus simple. Je ne promets pas d'arriver à la solution "à la main" toutefois, et en 3D ça semble compromis (Ising 3D impossible à la main petit rappel).

Enfin : on peut peut-être déjà tenter dans un premier temps une résolution par une approche statistique, et essayer de voir si on peut y adapter la théorie du champ moyen mmhhh... ça me semble pas impossible, quoique difficile à mettre en œuvre. Il faudrait pour cela déjà avoir un point de départ du problème je vais tâcher de voir ce que l'on peut faire.