salut à tous,ma question est simple
comment utiliser le theoreme du suite de Cauchy pour montrer qu une suite est convergente??
notre Prof. d analyse nous a dit qu on peut montrer q une suite est convergente sans calculer sa limite en utilisant le theoreme du suite de Cauchy
pour ce qu ils ne savent pas la suite de Cauchy:

suite de Cauchy sur wikiped.

enfait, il y a meme équivalence, pense à montrer d'abord que la suite est bornée

je ne comprend pas trop ce que tu veux, veux tu une preuve comme quoi toutes suite de cauchy est convergente ou un exemple.

En général quand tu veux montrer qu'une suite u_n tend vers l, tu étudies u_n-l et par toutes les bidouilles possibles tu montres que ça peut être rendu plus petit que n'importe quelle valeur.
Le problème c'est que pour ça, il faut avoir une idée de ce qu'est l.
Or parfois on voit bien que c'est possible que la suite converge sans avoir d'idée sur ce que peut être l. Dans ce cas on essaye de montrer qu'elle est de Cauchy, ainsi tu pourras conclure qu'elle a une limite (c'est vrai pour les suites réelles), mais tu sauras pas laquelle.

Par exemple tu peux montrer que les suites définies par <math>\(u_n=f(u_{n-1})\)</math> est de Cauchy pour f une fonction réelle k Lipschitz et k<1, et donc qu'elle a une limite qu'on peut appeller l sans avoir d'expression explicite pour l.

merci pour vos reponses mais j aimerai bien si vous me donnez des exemples(facile/moyenne/difficile)
afin d avoir une idée bien claire sur ce que vous me voulez dire....

Citation : ZeRa

il y a meme équivalence, pense à montrer d'abord que la suite est bornée

Il n'y a pas toujours équivalence si tu travailles dans des espaces non complets. Pour des suites réelles ou complexes, il y a effectivement équivalence. Dans le cas général, on a seulement l'implication (convergente => Cauchy).
Si on s'en tient au cas réel, c'est équivalent.
Il n'y a pas besoin de montrer que la suite est bornée, ça ne sert à rien.

Je trouve que L01c a été très clair : montrer qu'une suite est de Cauchy permet de montrer qu'elle est convergente sans avoir besoin de connaître sa limite.
Pour montrer qu'une suite est convergente directement (en utilisant la définition de la convergence), il faut connaître (ou intuiter) sa limite ! Alors que pour prouver qu'une suite est de Cauchy, tu n'as pas besoin d’intuiter la limite de la suite.

Quel point ne comprends-tu pas ? Il est difficile de donner un exemple simple d'application, quand on utilise les suites de Cauchy on est déjà à un niveau de mathématiques loin de "l'application directe".