Bonjour,

J'ai un DM à rendre pour demain, j'ai tout fini, sauf la dernière question, qui est en fait une question bonus. Il s'agit de démontrer la limite suivante, qui je pense est bien connue dans le monde des mathématiques .
<math>\(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\)</math>

Et là je bloque . J'ai essayé plusieurs choses, notamment de réécrire la limite comme ça <math>\(\lim_{x \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{x})^{2x}} {(1 + \frac{1}{x})^x}\)</math> , mais ça ne fait que compliquer la chose (surtout que j'ai du mal à trouver les dérivées de <math>\((1 + \frac{1}{x})^{2x}\)</math> et de <math>\((1 + \frac{1}{x})^{x}\)</math>, si vous voyez ce que je veux dire ).


Une autre tentative était de d'essayer d'introduire un logarithme dans la limite, pour faire disparaître la puissance <math>\(x\)</math>, sans succès (en fait, c'est surtout que je sais pas comment faire). J'avais transformé la limite en <math>\(\lim_{\ln x \to \infty} x\ln(1 + \frac{1}{x})\)</math>, mais je doute que ça marche. En plus, comment utiliser la règle de l'Hôpital ensuite?



Merci beaucoup

Bonjour,
tu est sûr que c'est <math>\(e\)</math> et pas <math>\(1\)</math> qu'il faut trouver ? ça arrangerai bien je trouve, parce que bizarement, il est plus facile de trouver <math>\(1\)</math> :
<math>\(\lim_{x\mapsto +\infty}1+\frac{1}{x}=1\)</math>
<math>\(\lim_{x\mapsto +\infty}1^x=1\)</math>
Puis tu composes et là tu peux y arriver sans s'embeter.

Citation : @dri1

Bonjour,
tu est sûr que c'est <math>\(e\)</math> et pas <math>\(1\)</math> qu'il faut trouver ? ça arrangerai bien je trouve, parce que bizarement, il est plus facile de trouver <math>\(1\)</math> :
<math>\(\lim_{x\mapsto +\infty}1+\frac{1}{x}=1\)</math>
<math>\(\lim_{x\mapsto +\infty}1^x=1\)</math>
Puis tu compose et là même un première peut y arriver, sans s'embeter.

À première vue ça semble faire 1 mais c'est bien <math>\(e\)</math> qu'il faut trouver, il n'y a qu'à le simuler à la calculatrice.

Et tu ne peux pas utiliser la règle de l'Hôpital ici car il faut que la forme indéterminée soit <math>\(\frac{0}{0}\)</math> ou <math>\(\frac{\infty}{\infty}\)</math>, ce qui n'est pas le cas avec ta fraction.

Ben, avec spacetime (logiciel de calcul formel) on trouve 1. Autant pour moi.

Non non, c'est bien <math>\(e\)</math> qu'il faut trouver, c'est là que repose toute la difficulté

Là je vais dire un truc je ne suis pas sûr.
Quand tu as arrangé ta fraction je ne vois pas pourquoi tu ne trouves pas le résultat attendu ensuite.
Moi j'ai <math>\(\frac{7,38}{2,71}\)</math> on s'approche de <math>\(e\)</math> (je n'ai pas fait les arrondis).
Non ?

EDIT : ah non puisque tu réutilises ce que tu dois démontrer.

<math>\(\begin{align} \lim_{x\to+\infty}x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}}{\frac{1}{x}}\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{-1}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}{\frac{-1}{x^2}}\\ &=1 \end{align}\)</math>
par théorème de l'Hospital
Donc <math>\(\lim_{x\to+\infty}\exp{\left(x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\exp{1}=e\)</math>