Bonjour,

J'aimerais démontrer que $$PGCD(n!^2+1,\sigma(n!))$$ donne soit 1 soit un nombre premier.

avec $$\sigma(n!)$$ la somme des diviseurs de n!

J'ai remarqué que parfois le premier p obtenu était tel que p=2n+1. Le premier p obtenu semble aussi intervenir dans la décomposition en facteurs premiers des deux éléments du PGCD, je ne sais pas si ça peut servir.

Merci à vous.

-
Edité par Craw 18 février 2019 à 21:08:51

Tu aimerais le démontrer. Ca veut dire quoi ?  

Option 1 : Tu as la certitude que c'est vrai, parce que ça a été déontré par quelqu'un, et tu aimerais refaire la démonstration par toi-même.

Option 2 : Beaucoup de gens pensent que c'est vrai, mais personne n'a su le démontrer , et tu veux le démontrer.  Ou éventuellement, pourquoi pas, démontrer que c'est faux.

Option 3 : Tu penses que c'est vrai, et tu cherches à le vérifier/le démontrer ou à démontrer que c'est faux, via un contre-exemple.

Alors voici le contexte. C'est l'option 3. J'ai trouvé cette formule en partant d'une publication d'Eric Rowland : https://arxiv.org/pdf/0710.3217.pdf dans laquelle il prouve qu'une autre formule avec un PGCD elle aussi donne toujours 1 ou un nombre premier.

Avec un programme python j'ai pu vérifier la formule jusqu'à un certain seuil mais ce n'est pas une démo bien entendu. 

J'ai contacté Eric Rowland vu que sa séquence est proche et il m'a trouvé un contre-exemple à n=7880, on trouve 380927609 qui est composé.

Néanmoins il m'a dit que la séquence était intéressante et pouvait être postée sur OEIS. Il doit y avoir d'autres propriétés intéressantes (notamment le fait que p=2n+1 parfois).

Voilà pour le fin mot de l'histoire.