Salut tout le monde,

on classe on travaille sur les fonctions polynômes du second degrés, et là, on vient de voir leur sens de variation :

si a > 0

pour x inclus dans [- infini ; -b / 2a] c'est décroissant, puis pour x inclus dans [-b / 2a ; + infini] c'est croissant

si a < 0

pour x inclus dans [- infini ; -b / 2a] c'est croissant, puis pour x inclus dans [-b / 2a ; + infini] c'est décroissant

Et pour lundi, il faut démontrer ça, ainsi que la manière d'obtenir les extremums (-b / 2a). Pour les extremums, ça va j'ai réussi, mais pour les variations, je ne vois pas trop...

Pourriez-vous m'aider SVP ?

Merci par avance 

cvanaret : si tu penses à la dérivée, elle n'est pas connue à ce stade du cours (ici il s'agit d'un cours début de 1ère S je crois).

victorm951 : je crois que la démonstration permettant de trouver les extremums doit aussi permettre de démontrer que c'est décroissant puis croissant ou le contraire. En gros, si c'est un maximum c'est forcément croissant puis décroissant et vice versa si c'est un minimum, donc tu dois avoir fait la moitié de la démonstration.

@cvanaret : merci pour ton aide mais effectivement je suis en 1e S et ça ne me parle pas trop 

@robun : merci à toi aussi pour ton aide. Je comprends ce que tu me propose mais concrètement, je ne vois pas comment m'y prendre. Je suppose qu'il faut prouver quelque chose du genre : (dans le cas où a>0) pour tout x inclus dans [- infini ; -b/2a], f(x) > f(x+1), et que pour tout x inclus dans [-b/2a ; + infini], f(x) < f(x+1), mais je suis un peu (beaucoup) bloqué...

Est-ce que tu peux indiquer comment tu as démontré que l'extremum est -b/2a ? (J'imagine à partir de l'expression canonique, mais je me trompe peut-être.) Je verrai alors si ça peut servir pour le sens de variation.

Ok merci  :

f(x) = ax²+bx+c = a ( x + b/2a )² - (b² - 4ac)/4a (ça on l'avait démontré en cours)

cas où : a > 0 (j'ai suivi le même résonnement pour a < 0) :

pour tout x dans R, on a : (x + b/2a)² >= 0 (car un carré est toujours positif dans R)

or a > 0, donc a(x + b/2a)² >= 0

<=> a(x + b/2a)² - (b² - 4ac) / 4a >= - (b² - 4ac) / 4a

or f(alpha) = beta, donc f(-b / 2a) = -(b² - 4ac) / 4a

donc a(x + b/2a)² - (b² - 4ac) / 4a >= f(-b/2a)

Ah, ce n'est pas ce que j'imaginais (au fait, un conseil : tu devrais réécrire la démonstration en utilisant α et β, c'est plus clair et plus concis). Essayons quand même. Je suppose a > 0, le cas négatif étant similaire, comme tu l'as signalé.

Tu as démontré en fait que pour tout x, f(x) >= f(α).

En particulier :

- Si x <= α, alors f(x) >= f(α).

- Si x >= α, alors f(x) >= f(α).

Zut, ça ne prouve pas que la fonction est décroissante / croissante.

Je pensais que c'était plus simple ! Essayons avec la définition, qui doit ressembler à « si pour tout x, y dans I on a

( x <= y ) ==> ( f(x) <= f(y) ), alors f est croissante sur I » (en supposant que I est un intervalle et que f est définie sur tout l'intervalle, bien sûr).

Soient x <= y tous deux supérieurs à α. On veut donc démontrer qu'alors f(x) <= f(y).

On calcule :

f(y) - f(x) = [ a ( y + α )² + β ] - [ a ( x + α )² + β ] = (utiliser judicieusement une identité remarquable pour aller vite)

= a ( y - x ) ( y + x + 2 α ).

On peut alors constater que y - x >= (je te laisse trouver), et que y + x + 2α >= (je te laisse trouver), donc finalement

f(y) - f(x) >= un truc positif, ce qui démontre que (je te laisse conclure).

(Je m'attendais à un truc plus simple, et je m'y attends encore.)

-
Edité par robun 12 septembre 2015 à 14:39:28

Ok merci beaucoup ! Je crois que j'ai compris 

Le seul petit détail qui me perturbe c'est que tu as écrit

f(y) - f(x) = [ a ( y + α )² + β ] - [ a ( x + α )² + β ] = a ( y - x ) ( y + x + 2 α ).

Est-ce que ce ne serait pas plutôt 

f(y) - f(x) = [ a ( y - α )² + β ] - [ a ( x - α )² + β ] = a ( y - x ) ( y + x - 2 α ).

?

Oui, tu as raison ! (C'est pour voir si tu suivais... )

Tu as bien fait tous les cas ? (Pour a>0 on doit démonter que c'est croissant à droite de α ─ c'est ce que j'ai présenté plus haut ─ mais aussi que c'est décroissant à gauche de α,et il me semble qu'on trouve une inégalité un poil différente. Et puis il faut refaire la même chose pour a<0.)

Oui j'avais 4 démonstrations en tout 

Mais c'est bon j'ai eu cours de maths et j'ai demandé au prof de vérifier et c'était bon 

On a pas encore fait la correction mais il m'a confirmé qu'il y avait plus simple. Je te dirait ce que ça donne...

Bonjour j ai une preuve à faire en mathématiques pour demain et je n arrive pas du tout, je dois prouver que f est croissante sur ]- infini; alfa] aidez moi

Pourquoi tu viens ici, crée plutôt un nouveau sujet ! Mais bon, puisque c'est fait...

Est-ce que tu as essayé d'appliquer la définition ? (f est croissante si a<=b entraîne que f(a)<=f(b).) Ça a donné quoi ?

Tu es en quel niveau ? (J'imagine que tu ne connais pas la notion de dérivée ?)