Bonjour,

Citation : exercise sur les produits scalaires

ABCD est un carré, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC].
Démontrer que (DI) et (AJ) sont orthogonales de deux façons :
a. en utilisant un repère orthonormé convenablement choisi ;
b. sans utiliser de repère.

Voilà la figure :


Voilà ce que j'ai fait :

a/
si (DI) et (AJ) sont orthogonales alors <math>\(\vec{DI}.\vec{AJ}=0\)</math>

Je choisis le repère orthonormé direct <math>\((B, \vec{IB}, \vec{BJ})\)</math>

Je définit les points :
<math>\(A(-2; 0)\)</math>
<math>\(D(-2; 2)\)</math>
<math>\(I(-1; 0)\)</math>
<math>\(J(0; 1)\)</math>

Puis les vecteurs :
<math>\(\vec{DI}(x_i - x_d ;y_i - y_d) = (-1 + 2; 0 - 2) = (1; -2)\)</math>
<math>\(\vec{AJ}(x_j - x_a ;y_j - y_a) = (0 + 2; 1 - 0) = (2; 1)\)</math>

Et je calcul :
<math>\(\vec{DI}.\vec{AJ}=0 \Longleftrightarrow xx'+yy' = 1 * 2 - 2 * 1 = 0\)</math>

Donc (AJ) et (DI) sont orthogonales.

Est-ce que c'est juste ? Au passage j'aimerai savoir quand doit-on utiliser le terme orthogonales et orthogonaux...

Et je ne sais pas si c'est une erreur du livre mais deux vecteurs sont orthogonales, mais deux droites sont perpendiculaires comme deux vecteurs sont colinéaires quand deux deux droites sont parallèles... Pourquoi il disent que deux droites sont orthogonales dans ce cas ?

Pour la question b je ne peux appliquer de formules vu que je ne connais pas les longueurs des vecteurs... comment faire ?

Merci a vous.

Ce que tu as fais me parait tout à fait juste.

Pour ta question sur l'orthogonalité vs la perpendicularité, il me semble qu'il y a une subtile différence entre les deux mais que c'est équivalent dans le plan (Je me souviens plus trop, mais c'est une histoire de sens d'inclusion) il est donc tout à fait valable de parler de droites orthogonales.

Sans utiliser de repère, je pense qu'il faut exprimer <math>\(\vec{DI}\)</math> et <math>\(\vec{AJ}\)</math> en fonction de <math>\(\vec{DA}\)</math>, <math>\(\vec{AI}\)</math>, <math>\(\vec{AB}\)</math> et <math>\(\vec{BJ}\)</math>,puis développer le produit scalaire.

Le repère que tu choisis ne me parait pas direct, par contre <math>\((B,\vec{BJ},\vec{BI})\)</math> l'est, donc il faudrait que tu refasses les calculs dedans.

En quoi le repère qu'il a choisi n'est pas direct ?
De toute façon, l'exercice ne demande pas un repère direct.

Citation : Gr3n@d1n3

Le repère que tu choisis ne me parait pas direct, par contre <math>\((B,\vec{BJ},\vec{BI})\)</math> l'est, donc il faudrait que tu refasses les calculs dedans.

Mais si il est direct, juste que je décale le vecteur BI vers la gauche comme il n'y a pas de point à droite de B.

Je vais essayer ta méthode rushia. Merci.

Oui, effectivement, mais je ne trouve pas que ce soit le plus naturel Ce n'est que mon avis ...

Hello ! Pour la question b, il faut que tu trouve une autre méthode je pense, parce que si mes souvenirs sont bons : pour pouvoir interagir avec des vecteurs, il te faut forcément un repère.

Et sinon, dans le plan, "perpendiculaire" et "orthogonale" c'est la même chose. C'est dans l'espace que cela change : deux droites sont orthogonales si elles sont "perpendiculaires"* mais pas dans le même plan. Et elles sont perpendiculaires si elles sont "perpendiculaires"* et dans le même plan.

*Ici le mot "perpendiculaires" n'est pas le mot mathématique, c'est juste pour te donner une idée de la position des droites l'une par rapport à l'autre

Il me semble que même dans les espaces vectoriels (où par définition, deux droites sont toujours dans un même plan) il y a une légère différence (Genre pour deux éléments F et G, un coup c'est F qui est inclus dans l'orthogonal de G —cas orthogonal je crois—, un coup c'est l'orthogonal de G qui est inclus dans F —cas perpendiculaire j crois—, ou quelque chose dans le style).

On n'a pas nécessairement besoin d'un repère pour faire interagir des vecteurs si on a une connaissance a priori dessus. Avec la décomposition que je propose, on a affaire que à des vecteurs orthogonaux ou colinéaires dont on peut calculer facilement le produit scalaire sans avoir besoin de coordonnées.

Avec ta méthode rushia, je tombe sur :

<math>\(\vec{DA}.\vec{AB} + \vec{DA}.\vec{BJ} + \vec{AI}.\vec{AB} + \vec{AI}.\vec{BJ}\)</math>

Et là impossible de tomber sur 0 sans utiliser de repère...
EDIT : J'ai rien dit je pense avoir trouvé. Deux minutes.

Edit : tant mieux si tu as trouvé tout seul

Citation : log_i

si (DI) et (AJ) sont orthogonales alors <math>\(\overrightarrow{DI} . \overrightarrow{AJ} = 0\)</math>
...

Et je calcule : <math>\(\overrightarrow{DI} . \overrightarrow{AJ} = 0\)</math>
Donc (AJ) et (DI) sont orthogonales.

Le raisonnement logique n'est pas correct: il te faut l'implication inverse pour prouver que (AJ) et (DJ) sont orthogonales. Sinon tu pourrais écrire: "Si a est un poulet alors a est une volaille, or a est un coq donc une volaille donc un poulet". Dans ton cas la première phrase est une équivalence donc ça marche, mais ce n'est pas très rigoureux.

Pour la deuxième question, il me semble qu'il faut oublier les vecteurs, car il est nécessaire d'avoir un repère. Il faut que tu réfléchisses sur les angles. Les deux triangles ABJ et ADI sont semblables (côtés de mêmes longueurs) et ont donc des angles identiques et en te rappelant que la somme des angles d'un triangle doit faire 180°, sans calculer explicitement d'angles tu peux trouver le résultat cherché.

La photocopie tue le livre

Pour perpendiculaire vs orthogonal :
Perpendiculaire s'applique uniquement à 2 droites dans le même plan, comme le dit Rushia. La notion d'orthogonalité généralise cette notion en utilisant le concept de "direction".

On dit que 2 droites ont même direction si elles sont parallèles. La "direction" d'une droite est l'ensemble de toutes les droites qui lui sont parallèles.

Cette notion permet de parler d'orthogonalité pour 2 droites n'étant pas dans le même plan : 2 directions D1 et D2 sont orthogonales s'il existe une droite d1 de direction D1 et une droite d2 de direction D2 telle que d1 est perpendiculaire à d2 (tu remarqueras que l'on se ramène à la notion de perpendicularité pour définir l'orthogonalité).

Mais maintenant, on peut être encore plus général : on peut dire que 2 vecteurs ou 2 segments sont orthogonaux, il suffit que les direction de ces vecteurs/segments soient orthogonales.

Pour orthogonaux/orthogonales, c'est tout simple ; on dit "orthogonaux" lorsqu'on parle d'objets de type masculin (vecteur, segment ...) et "orthogonales" lorsqu'on parle d'objets de type féminin (droite, direction ...).

Ah oui tient, en utilisant les angles dans le triangle <math>\(DAG\)</math> avec <math>\(G\)</math> le point d'intersection de <math>\((AJ)\)</math> et <math>\((DI)\)</math>, ça va assez vite

Je saisi mieux les sens de orthogonal et perpendiculaire. Merci.

Pour ne pas utiliser de repère j'ai usage à cette définition du produit scalaire :

<math>\(\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 -||\vec{v}||^2)\)</math>

J'applique cette formule pour trouver :
<math>\(\vec{DA}.\vec{AB} + \vec{DA}.\vec{BJ} + \vec{AI}.\vec{AB} + \vec{AI}.\vec{BJ} = 0\)</math>

Et le soucis c'est que je trouve pour le premier terme <math>\(\vec{DA}.\vec{AB} = 4\)</math> alors que DA et AB sont orthogonaux. Pourquoi ?

EDIT : Je vais essayer votre méthode avec le triangle là. Merci.

<math>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}\)</math> de norme: <math>\(\sqrt{2}\cross a\)</math> (a la longueur d'un côté du carré) donc:
<math>\(\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (2 \cross a^2 - a^2 - a^2) = 0\)</math>

Je pense que la deuxième question attend de toi un raisonnement plus géométrique, ie, d'oublier les vecteurs et ne travailler que sur les angles. D'ailleurs on obtient aisément le résultat en travaillant sur les angles (pose toi les questions: quels angles sont égaux? Quels angles sont complémentaires? et la réponse viendra toute seule)

J'ai trouvé merci. Je sais donc que l'angle AGI est droit. Est-ce que cela implique l'orthogonalite directement ou je dois rajouter autre chose ?

Non, ça suffit (pour peu qu'il soit bien droit en G :P)

Bonjour !

1) Crée ton propre sujet. Sinon les gens risquent de répondre à la question d'il y a huit ans, ça va faire perdre du temps à eux comme à toi.

2) Ne demande pas si on peut t'aider, ça ne fait pas avancer les choses, tu verras bien. À la place, explique en détail le problème et les difficultés afin que ceux qui peuvent t'aider puissent le faire immédiatement.

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Edité par robun 14 mars 2019 à 16:31:30