Bonjour,

Je n'ai pas très bien compris la définition suivante au sujet de la dérivabilité en un point:

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) en un point \(a\) admet une limite finie (qui est le nombre dérivé est dite dérivable en ce point.

Ainsi \( lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^'(a)\)

Ce que je comprend pas c'est que la limite sera toujours pratiquement égale à 0...

Merci d'avance!

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Edité par MaxeinlorPhy 25 août 2017 à 18:53:10

Essaye avec la fonction f: f(x) = 2*x +1, et au voisinage du point a=3  par exemple, est-ce que la limite est 0 ?

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Edité par tbc92 25 août 2017 à 19:08:28

D'accord alors \(\frac{2 \times (3 + h) +1 - (2 \times 3) +1}{h}\) quand h tend vers 0 ça fait 0 là non?

Vérifie : au numérateur, il y a des trucs qui se simplifient.

Ou plus simplement vérifie avec l’identité f(x) = x. Tu as f(a + h) - f(a) = a + h - a = h et h / h = 1.

Ah oui j'obtient 2h/h et donc: 2, mais c'est inutile de faire tendre h vers 0? Enfin plutôt je comprend pas l'utilité de le faire tendre vers 0

Merci

MaxeinlorPhy a écrit:

D'accord alors \(\frac{2 \times (3 + h) +1 - (2 \times 3) +1}{h}\) quand h tend vers 0 ça fait 0 là non?

Attention,  cela fait \( \frac{2 \times (3 + h) +1 - \left(   (2 \times 3) +1 \right) }{h} = \frac{2h}{h}=2 \) 

(je vais remettre le message du poste supprimé), tu peux voir la formule de la dérivée comme la limite du taux d'accroissement. Entre a et b, ta fonction varie de \( \Delta_{a,b} = \frac{ f(b) - f(a) }{b-a} \) . Si tu veux avoir la dérivée proche d'un point, on vas faire se rapprocher a et b de ce point, en prenant b=x_0 + h, et a = x_0 - h. soit \( \Delta_{h} = \frac{ f(x_0 + h ) - f( x_0 - h ) }{2h} \) 

et donc pour avoir la dérivée en x0, tu fais tendre h vers 0.  étant donnée que tu as une forme indéterminée, 0/0, cette limite peut vraiment prendre des valeurs très différentes

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Edité par edouard22 25 août 2017 à 21:21:28

Merci pour toutes vos réponses!

Alors dans un premier temps, je vois qu'en faite le résultat n'est pas toujours égale à zéro!

Dans un second temps j'ai vu que ce que tu proposes edouard22 découle de l'histoire d'une sécante et que lorsqu'on fait tendre b vers a la fonction devient la tangente en a.

En faite je me demande juste pour on a choisit de faire tendre h vers 0, d'où cette règle vient? ^^"

Merci beaucoup!

Bon, déjà, on est bien d'accord, pour l'exemple qu'on a testé, on trouve que la limite, c'est 2, et non 0. Ca fait donc déjà une fausse certitude qui saute, bonne nouvelle.

Maintenant, pourquoi on choisit de faire tendre h faire 0.  Alors on va s'intéresser à une autre fonction, un tout petit peu plus compliquée, f(x) = x².

Et on va regarder ce qui se passe autour du point a=1 par exemple. Fais un dessin. Place le point [a,f(a)] sur le dessin, et pour une valeur de h petite  disons h=0.1 , place le point [a+h, f(a+h)]. Et pour y voir quelque chose, fais un dessin très zoomé.

Et à partir de ce dessin, essaie de voir ce que représente le rapport  (f(a+h)-f(a))/h

On obtient une sécante et pas la tangente du coup non?

du coup si on fait (1+0,1)²-1/0.1=0,21/0.1=2.1 alors qu'on doit trouver 2? 

Mais si je me suis pas trompé, lorsqu'on fait tendre h vers 0 on obtient 2 non? par exemple h=0.001 ça fait: (1+0.001)²-1/0.001=2.001

En faite h c'est la différence entre deux point qui forme une sécante et le but c'est d'avoir h qui tend vers 0 car ça signifie qu'on obtient la tangente?

Merci beaucoup

J'ai cette exercice qui dit: Etudier la dérivabilité de \( f(x)=|\sin(x)|\), je sais qu'elle n'est pas dérivable en 0 modulo \( 2\pi \) (enfin j'espère que c'est vrai

Du coup je vois pas trop comment appliquer la formule dans ce cas ^^"

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Edité par MaxeinlorPhy 26 août 2017 à 12:03:58

Pour ton dernière exemple, fais tendre h vers 0 par valeur négative, puis positive. Et tu verra que tu obtiens deux limite différente. Donc La limite n'existe pas et la fonction n'est pas dérivable en 0 :-) . 

Cela vient du fait que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0

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Edité par edouard22 26 août 2017 à 13:12:20

MaxeinlorPhy a écrit:

On obtient une sécante et pas la tangente du coup non?

du coup si on fait (1+0,1)²-1/0.1=0,21/0.1=2.1 alors qu'on doit trouver 2? 

Mais si je me suis pas trompé, lorsqu'on fait tendre h vers 0 on obtient 2 non? par exemple h=0.001 ça fait: (1+0.001)²-1/0.001=2.001

En faite h c'est la différence entre deux point qui forme une sécante et le but c'est d'avoir h qui tend vers 0 car ça signifie qu'on obtient la tangente?

Tout à fait, plus h se rapproche de 0, plus la droite en question se rapproche de la tangente. Et la valeur limite donne la pente de la courbe au point étudié.

Je vous remercie j'ai enfin pigé cette notion! ;) 

En grand merci!

Je vais faire ça alors Edouard22