J'ai cru comprend qu'en maths on a plusieurs façon de voir la notion de "courbe".
Soit au moyen d'un graph exemple : f(x)=x
Soit au moyen d'une définition implicite y=x
Soit au moyen d'un paramètre t, têta etc (dans le cas où c'est possible)
Ce que je viens de dire est-il vrai? Les courbes paramétrées sont des courbes vectorielle car elles associent aux coordonnées de chaque point de la courbe des fonctions?
Le fait d'avoir ces façon différentes de représentation cela permet de chercher à obtenir des propriétés pour faciliter les analyses non?
- Soit au moyen d'un graph exemple : f(x)=x euh ???? il y a une faute de frappe, tu as voulu écrire f(x,y)=0 ? ou bien f(x)=y ? Ces 2 écritures existent, mais pas f(x)=x.
- Soit au moyen d'une définition implicite y=x euh ???? à nouveau une faute de frappe, et tu voulais écrire y=f(x) ?
- Soit au moyen d'un paramètre t : oui, mais là, tu n'a pas développé, par peur d'une nouvelle faute de frappe ?
- Les courbes paramétrées sont des courbes vectorielle car elles associent aux coordonnées de chaque point de la courbe des fonctions? Pour moi, cette phrase ne veut rien dire ; il doit manquer un ou 2 mots. Mais de toutes façons, ma réponse est : non.
- Le fait d'avoir ces façon différentes de représentation cela permet de chercher à obtenir des propriétés pour faciliter les analyses non? Oui et non.
tu dis par exemple : au moyen d'un paramètre t (dans le cas où c'est possible).
La remarque 'dans le cas où c'est possible' tombe très mal. Quand on a une fonction, c'est TOUJOURS possible de la reformuler en passant par un paramètre t.
une FONCTION consiste en un LIEN entre (par exemple) deux valeurs X et Y (Y est 'fonction de' X, car si X varie, Y varie en conséquence d'une certaine fonction qui dépend de leur lien, de la "fonction").
Ce lien, cette fonction donc, est souvent associée à une lettre (pour la nommer et la distinguer d'une autre) : "f" par exemple. C'est ainsi qu'on NOTE le lien entre X et Y ainsi :
NOTATIONS :
f
X --> Y ("f est la fonction qui à X associe Y")
Ou bien :
X --> f(X)
Ou :
Y = f(X)
Ces notations sont toutes équivalentes, nomment les valeurs liées (variable X appelée parfois "antécédent", et son "image" Y par la fonction)
** REPRÉSENTER UNE FONCTION :
Ce lien entre X et Y par f peut être représenté de 2 façons :
# par une équation :
f : Y = 2X + 5, i.e. : f(X) = 2X + 5
"La chance sourit aux esprits préparés" - Louis Pasteur
Oui, il y a plusieurs façons de décrire mathématiquement des courbes.
Par exemple la représentation graphique de \( f(x) = \sqrt{1-x^2} \) sur [-1,1] est un demi-cercle. On ne peut pas décrire le cercle complet à partir d'une fonction (parce qu'une fonction n'admet qu'une seule valeur f(x) pour un x donné). Dommage. D'un autre côté, s'appuyer sur une fonction est pratique, ça permet d'étudier la géométrie de la courbe facilement (par exemple pour connaître l'équation d'une tangente, on calcule la dérivée ; pour savoir si la courbe est convexe ou concave, on calcule la dérivée seconde).
Deuxième façon : avec une équation. Cette fois on peut décrire le cercle complet : c'est l'ensemble des x de [-1,1] tels que \( y = -\sqrt{1-x^2} \) ou \( y = +\sqrt{1-x^2} \) c'est-à-dire l'ensemble des x tels que \( x^2 + y^2 = 1 \). Mais ce n'est pas forcément aussi pratique. Par exemple comment calculer l'équation d'une tangente ?
Troisième façon : en paramétrant les coordonnées. Dans le plan ça signifie écrire \( x = x(t) \) et \( y = y(t) \) (on peut aussi utiliser des coordonnées polaires : \( \rho = \rho(t)\) et \( \theta = \theta(t) \), et il existe probablement d'autres types de coordonnées que l'on peut paramétrer). Là aussi on peut avoir le cercle complet, et là aussi ça a ses avantages et ses inconvénients. Par exemple si la courbe provient d'un problème physique où t joue le rôle du temps, il est assez naturel d'utiliser cette écriture.
Question : est-ce que toutes les courbes planes imaginables s'obtiennent forcément par l'une de ces trois écritures ? Je n'en sais fichtrement rien mais je ne serais pas étonné qu'il y ait une branche des maths qui a étudié ça et connaît la réponse.
(Qu'est-ce que tu entends par « courbe vectorielle » ?)
Deuxième façon : avec une équation. Cette fois on peut décrire le cercle complet : c'est l'ensemble des x de [-1,1] tels que \( y = -\sqrt{1-x^2} \) ou \( y = +\sqrt{1-x^2} \) c'est-à-dire l'ensemble des x tels que \( x^2 + y^2 = 1 \). Mais ce n'est pas forcément aussi pratique. Par exemple comment calculer l'équation d'une tangente ?
Edité par robun il y a environ 11 heures
facilement ...
Si la courbe est représentée par \(f(x,y)=0\) , l'équation de la tangente en \((a,b)\) a pour équation \(f'_x(a,b)(x-a)+f'_y(a,b)(y-b)=0\) moyennant quelques conditions de validité , qui rejoigne les conditions d'applicabilité du théorème des fonctions implicites. Théorème qui répond ( certes fort partiellement ) à la questionsuivante
robun a écrit:
Question : est-ce que toutes les courbes planes imaginables s'obtiennent forcément par l'une de ces trois écritures ? Je n'en sais fichtrement rien mais je ne serais pas étonné qu'il y ait une branche des maths qui a étudié ça et connaît la réponse.
Edité par robun il y a environ 11 heures
Il faut déjà être d'accord sur où s'arrête l'imagination .
Si on considère une courbe tracée "sans lever le crayon" donc continue et dérivable sauf en un nombre dénombrable de points, ( courbes au moins \(C^1\) par morceaux), le théorème des fonctions implicites assure l'existence locale d'une équation \(y=\varphi(x)\) en un point \(M(a,b)\) de la courbe sur tout ouvert contenant ce point où la différentielle partielle ad hoc est inversible ( je résume de façon pas nécessairement rigoureuse) . Evidemment, en pratique, l'existence ne nous garantie pas que on sait écrire une équation explicite même locale ! Et pour une courbe quelconque, même vérifiant ces conditions, il n'y aura le plus souvent pas d'équation unique possible mais une carte globale union de cartes locales où le théorème s'applique ( il y a un lien avec le problème plus général de la cartographie et, par exemple, la question d'une représentation plane d'une figure tracée sur une sphère)
Aux points où la différentielle n'est pas inversible, cela ne marche donc pas. On retrouve cela sur l'exemple du cercle en (1,0) et (-1,0). Il n'existe pas d'ouverts contenant ces points vérifiant les conditions du théorème. Il y aura donc nécessairement deux équations implicites pour un voisinage incluant ces points. Une représentation paramétrique adaptée peut permettre de contourner la difficulté et d'étendre la modélisation locale aux points singuliers usuels. La forme paramétrée d'un arc de courbe facilite l'étude générale des points non réguliers ( inflexion , rebroussement de première et deuxième espèce, points multiples).
Une question est le passage d'une représentation à une autre .
Trouver un paramétrage \((x(t)=0, y(t)=0)\) pour une équation \(f(x,y)=0\), et réciproquement, est parfois simple ( coniques), plus souvent compliqué, parfois inextricable ( voire impossible? )
Le site suivant http://www.mathcurve.com/index.htm est un bestiaire très complet sinon exhaustif de tout ce qui est représentable par des équations explicites en courbes 2D, 3D, et surfaces sous une et/ou l'autre des formes indiquées.
Pour une introduction aux propriétés de base et métriques des courbes et surfaces,on peut conseiller le Monier chez Dunod Géométrie . Il est accessible sans être élémentaire ( couvre le programme géométrie prépa 1ère et 2ème année ... je n'ai que la deuxième édition année 2000, mais il en est ( au moins) à la 5ème,...je ne pense pas que la géométrie ait beaucoup changé depuis 2000 ... mais les programmes peut-être )
- Edité par Sennacherib 31 octobre 2018 à 11:54:18
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
une fonction consiste en un lien entre (par exemple) deux valeurs X et Y (Y est 'fonction de' X, car si X varie, Y varie en suivant une certaine fonction, dépend de leur lien, de la "fonction").
Ce lien, cette fonction donc, est souvent associé(e) à une lettre (pour la nommer et la distinguer d'une autre) : "f" par exemple. C'est ainsi qu'on note le lien entre X et Y ainsi :
NOTATIONS :
f
X --> Y ("f est la fonction qui à X associe Y")
Ou bien :
X --> f(X)
Ou :
Y = f(X)
Ces notations sont toutes équivalentes, désignent les valeurs liées (variable X appelée parfois "antécédent", et son "image" Y par la fonction)
REPRÉSENTER UNE FONCTION :
Ce lien entre X et Y par f peut être représenté de 2 façons :
# par une équation:
f : Y = -X + 15 ou bien : f(X) = -X + 15
g : Y = (X + 2)² ou bien : g(X) = (X + 2)²
On peut passer de X à f(X) (voire l'inverse) en donnant une valeur à X et en déduisant alors par le calcul f(X).
Ainsi ici : f(3) = -3 + 15 = 12
# par une courbe :
La courbe représente ce lien entre X et Y, c'est-à-dire entre X et f(x), c'est-à-dire entre l'abscisse X et l'ordonnée f(X) (Y par f dépendant de X) : - Chaque point de la courbe associe une seule abscisse X (antécédent) à son image f(x) (image de Y par f).
- On peut donc dire que tout point M de la courbe représentant f peut être noté : M( x ; f(x) )
- Par projection d'un point de la courbe sur les axes du repères, on peut donc trouver les coordonnées X et f(X) correspondantes.
On peut passer de X à f(X) (et souvent inversement) en passant graphiquement par la courbe, d'un axe de repère à l'autre.
CONCLUSION :
Il y a deux façon de comprendre et étudier une fonction :
# analytiquement avec son équation
# graphiquement par sa courbe
L'approche graphique permet de guider la compréhension de la fonction ou l'intuition pour l'étudier, mais demeure approximative d'un point de vue mathématique. Elle peut être une fin en soi pour des applications industrielles par exemple.
L'approche analytique est plus rigoureuse.
Ceci dit :
- une équation de fonction peut être présentée à la fois sous forme cartésienne (X ; Y=f(X)), paramétrique ou vectorielle : cela ne change rien (si ce n'est que le choix de l'expression de la fonction facilite l'étude de la fonction ou son interprétation, suivant le contexte)
- une courbe de fonction en sera son unique représentation graphique, approximative (peut importe la forme d'expression de l'équation)."
- Edité par C'Me 1 novembre 2018 à 23:46:09
"La chance sourit aux esprits préparés" - Louis Pasteur
Ici, tu parles des fonctions y = f(x). Et donc tu parles de certaines courbes, pas de toutes les courbes. Tu parles des courbes qui vont de la gauche vers la droite : pour une valeur de x on a (au maximum) une valeur de y.
MaxeinlorPhy parlait des courbes en général. Robun a parlé du cercle, on pourrait parler des spirales. Ces courbes ne peuvent pas être représentées sous la forme y=f(x). Et pourtant ces courbes existent. Et comme déjà dit, ces courbes peuvent être écrites sour la forme x= x(t) ; y = y(t)
Equation de la spirale de base : x = t*cos(t) ; y = t*sin(t)
Mais on peut s'amuser avec des variantes : x = t*cos(t) ; y = log(t)*sin(t)
En réalité, si tu lis ma conclusion, je précise que l'on peut généraliser aux différentes approches (vectorielles, paramétriques, cartésiennes) le concept d'équation, de représentation analytique d'une fonction. Car sur le fond, j'ai certes simplifié en commençant par cette approche cartésienne de la notion de fonction, mais MaxeinlorPhy semblait faire plusieurs confusions entre les notions de fonction, de graphique, de représentation, d'équation que j'ai opté pour une approche simplifiée.
Après, je laisse le soin à plus compétent que moi de le mener plus loin s'il en ressent le besoin !
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Différente façon de représenter des fonctions
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