Bonjour à tous.

Je me pose une simple question d'analyse dimensionnelle : peut-on exprimer les unités de la constante de Boltzmann grâce à l'analyse dimensionnelle en utilisant seulement les unités T, L et M dans une équation aux dimensions ?

Si oui, quelle est cette équation ?

Non (j'édite dans un instant pour expliquer pourquoi)

On entend souvent que parmi les constantes fondamentales, comme <math>\(c\)</math>, <math>\(\mathcal G\)</math> et <math>\(\hbar\)</math>, la constante de Boltzmann intègre aussi une constante fondamentale. Ça n'est pas exact.

En effet, les constantes comme <math>\(c\)</math>, <math>\(\mathcal G\)</math> et <math>\(\hbar\)</math> ont une origine structurale dans la construction des modèles physiques (relativité, relativité générale et mécanique quantique).

Pour être plus précis dans la construction de ces théories, on arrive à des théorèmes du genre : il existe <math>\(\alpha\)</math> telle que : <math>\(A=\alpha B\)</math> (où <math>\(A\)</math>, <math>\(B\)</math> sont des termes physiques, exemple : courbure de l'espace-temps d'une part, contenu en énergie d'autre part). Cet <math>\(\alpha\)</math> est alors promu au rang de constante fondamentale. À ce titre, elle permet de créer une nouvelle unité physique linéairement indépendante (en l'occurence : ici on a 3 unités linéairement indépendantes, au sens mathématique : unité de longueur, unité de temps, unité de masse).

Il est possible de jongler entre unités (masse, longueur, temps) et nombres adimensionnés : il suffit d'utiliser la valeur des constantes <math>\(c\)</math>, <math>\(\mathcal G\)</math> et <math>\(\hbar\)</math> pour y parvenir. C'est relatif en fait on est totalement libre de choisir les valeurs de ces constantes. (en QFT on ne se gène d'ailleurs pas pour poser <math>\(\hbar=c=1\)</math> ce qui simplifie l'écriture des calculs sordides qu'on y rencontre).

<math>\(k_B\)</math> n'est introduit que pour des raisons de commodité (de la même façon que le nombre d'Avogadro introduit une commodité en chimie aussi). Il est plus facile d'écrire une température en degrés Kelvin, plutôt qu'en Joule (i.e. il fait <math>\(2,3\times 10^{-22}\,\mathrm J\)</math> ben c'est pas évident à se représenter). La valeur de la constante de Boltzmann est fixée pour que la différence en Kelvin entre l'état de vaporisation de l'eau et sa solidification soit de <math>\(100\,\mathrm K\)</math>

Je suis d'accord avec le message précédent sauf :

Citation : heizmann

On entend souvent que parmi les constantes fondamentales, comme <math>\(c\)</math>, <math>\(\mathcal G\)</math> et <math>\(\hbar\)</math>, la constante de Boltzmann intègre aussi une constante fondamentale.

Je n'ai jamais entendu ça et il me paraissait assez évident qu'une grandeur de nature statistique ne soit pas mis sur le même plan que c, G et <math>\(\hbar\)</math>.

Citation : heizmann

<math>\(k_B\)</math> n'est introduit que pour des raisons de commodité (de la même façon que le nombre d'Avogadro introduit une commodité en chimie aussi). Il est plus facile d'écrire une température en degrés Kelvin, plutôt qu'en Joule (i.e. il fait <math>\(2,3\times 10^{-22}\,\mathrm J\)</math> ben c'est pas évident à se représenter).

Je ne suis pas sûr d'être d'accord : <math>\(k_B = 1\)</math> est une commodité, mais <math>\(k_B\)</math> en lui-même ? Ce n'est pas vraiment la même chose que pour la mole : la mole, à la base, ça ne veut rien dire. Par contre, la température et l'énergie c'est vraiment quelque chose de concret et préexistant.

Et pas besoin d'introduire <math>\(k_B\)</math> pour exprimer une température en kelvins. C'est dans l'autre sens que ça marche, on en a besoin pour exprimer une température en unité d'énergie (et aussi pour une énergie en unité de température).

Citation : heizmann

La valeur de la constante de Boltzmann est fixée pour que la différence en Kelvin entre l'état de vaporisation de l'eau et sa solidification soit de <math>\(100\,\mathrm K\)</math>

Ça c'est en lien avec la définition du kelvin, et le kelvin n'est pas défini à partir de <math>\(k_B\)</math>. Et concrètement (Wikipédia est mon ami), la constante de Boltzmann est déterminée à partir de <math>\(k_B = \frac{R}{N_A}\)</math> avec <math>\(R\)</math> et <math>\(N_A\)</math> mesurés.

@ Elentar : il faut faire de la mécanique statistique pour comprendre.

Ta définition de la constante de Boltzmann est la définition historique.

Moi je parle de définition actuelle (ok, j'ai zappé les conditions standards de pression notamment dans la définition mais je ne me rappelle plus de ces dernières). On peut même parler de point de vue actuel

Dans ta définition (historique), <math>\(R\)</math> contient déjà la définition du degré Kelvin. Le Kelvin est fondamentalement la même unité que le degré Celsius, à une translation près. L'échelle Kevin est définie en partie par le principe zéro de la thermodynamique : au zéro absolu correspond une température de zéro Kelvin.

En fait, on se rend compte de l'absurdité d'élever la constante de Boltzmann au rang de constante fondamentale (i.e. en terme de coefficient de structure d'une théorie, en l'occurrence ici la théorie statistique) en regardant la définition suivante : <math>\(P_{i}=\frac{1}{\mathcal Z}\mathrm e^{-\frac{E_{i}}{k_BT}}\)</math> qui donne la probabilité d'un état <math>\(i\)</math> d'être dans un certain état macroscopique (formule de Boltzmann de l'énergie). <math>\(k_B\)</math> seul n'a pas de sens physique, seul <math>\(k_BT\)</math> en a un. C'est un facteur de pure commodité pour avoir une échelle de température facile à manier.



Hem, oui, et d'ailleurs cela remet en cause de la légitimité de placer <math>\(\mathcal G\)</math> au rang de constante fondamentale. Mais : la théorie de la relativité générale nous apprend au contraire que si <math>\(B\)</math> est le tenseur de courbure, si <math>\(T\)</math> est le contenu en énergie, alors il y a proportionnalité entre les deux : <math>\(B=\frac{8\pi\mathcal G}{c^4}T\)</math> (pour les pros : <math>\(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi\mathcal G}{c^4}T_{\mu\nu}\)</math>).

C'est le fait d'avoir à rompre une indépendance linéaire entre deux grandeurs physiques en posant un coefficient de proportionnalité qui fait naître une "vraie" nouvelle constante fondamentale au sens structurel (et qui décide du coup quel est le nombre de degré de liberté linéairement indépendant dans l'espace des unités physiques).

Une belle illustration pour le coup : soit le théorème de <math>\(\pi\)</math>-Vashy Buckingham appliqué dans un système où y'a de l'électrostatique. Dans le tableau d'unités, il n'y aura jamais deux cases contenant l'une <math>\(e\)</math> et l'autre <math>\(\epsilon_0\)</math>. En revanche, on rencontre la case <math>\(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\)</math>. La combinaison entière a elle un sens physique, qui ne dépend pas de nos commodités d'exprimer les grandeurs avec des unités différentes. C'est la combinaison entière <math>\(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\)</math> qui a un sens physique. D'ailleurs, il existe des systèmes d'unité où <math>\(\epsilon_0\)</math> n'existe pas (pas qu'il soit égal à un, il n'existe pas). <math>\(\epsilon_0\)</math> n'est en rien une constante fondamentale de structure.



Si. évidemment, il faut s'imaginer un "1" invisible en ce cas (pas évident). Mais le principal, c'est qu'il y soit ! <math>\(E=m\times 1^2\)</math>, ça marche en relativité

la physique c'est une discipline ardue !

Bon, déjà merci de ne pas prendre son interlocuteur pour un imbécile (cf. la présupposition "il faut faire de la mécanique statistique pour comprendre." + l'explication sur le lien kelvin <-> degré Celsius de niveau lycée + " la physique c'est une discipline ardue !")... Et je répondrai seulement à la première partie de ta réponse, celle qui a rapport avec mes remarques.

Citation : heizmann

Ta définition de la constante de Boltzmann est la définition historique.

Moi je parle de définition actuelle (ok, j'ai zappé les conditions standards de pression notamment dans la définition mais je ne me rappelle plus de ces dernières). On peut même parler de point de vue actuel

Oui, <math>\(k_B = \frac{R}{N_A}\)</math> est la définition "historique" (et j'ai fait assez de physique statistique pour en savoir plus), mais la valeur de <math>\(k_B\)</math> est déterminée en utilisant cette relation (source).

Citation : heizmann

Dans ta définition (historique), <math>\(R\)</math> contient déjà la définition du degré Kelvin.

La détermination de la valeur de <math>\(R\)</math> utilise la définition du kelvin en SI oui. Ça dépend aussi de la définition du mètre, de la seconde et du kilogramme. Mais... et alors ?

"La valeur de la constante de Boltzmann est fixée pour que la différence en Kelvin entre l'état de vaporisation de l'eau et sa solidification soit de <math>\(100\,\mathrm K\)</math> " est incompréhensible amha. Si on a déjà défini le kelvin comme le fait le SI, la différence de 100 K est acquise et n'a aucun rapport avec la constante de Boltzmann. Si on ne l'a pas encore défini, on peut voir qu'en SI sa définition n'a aucun rapport avec <math>\(k_B\)</math>.

Alors avant tout je m'excuse je ne veux pas du tout te prendre pour un imbécile sache-le (hem... j'avoue qu'en me relisant, ça pouvait être mal pris... mais je suis parfois taquin mais c'est sans aucune animosité).

En fait, je voulais surtout insister comme quoi <math>\(k_B\)</math> n'est pas une constante fondamentale...

Ce qui est curieux, c'est que ça a toujours été la guerre entre les physiciens à ce sujet je me souviens, selon Gilles Cohen Tannoundji, c'en est une ... et puis, y'a des gens comme Hervé Bergeron ou d'autres qui ne partagent pas cet avis - dont moi-même.

PS encore désolé d'avoir été "trop" taquin

Re-PS : dommage que tu sembles zapper le reste de ma précédente bafouille... j'aurais aimé avoir ton point de vue là-dessus aussi

Pas de problème, sans rancune.

Au sujet de constante fondamentale ou non, je ne connais pas du tout les arguments de Bergeron ou de Cohen-Tannoundji, mais de mon point de vue l'argument macroscopique (vu que k_B a un lien direct avec la température) suffit à trancher la question (il me semble que c'est aussi l'avis de Diu exprimé dans l'intro de sa monographie sur la physique statistique).
Si on suppose bien que la notion de température émerge de processus microscopiques, je ne vois pas pourquoi on devrait considérer k_B comme une constante fondamentale, même si elle est omniprésente.

Après, je pense que ça dépend pas mal de ce qu'on considère comme "fondamental". Sous ce simple argument, la constante G n'est pas non plus à l'abri de perdre son status un jour...

Ben fondamentale, dans le sens où elle relie deux grandeurs physiquement sans rapport... Exprimer une température en erg, en Kelvin, en Joule etc. ne pose pas de problème. Ça reste une température. On choisit une unité. Le rôle de <math>\(k_B\)</math> est simplement de donner la bonne unité qu'on a choisi a priori.

En revanche... poser <math>\(c=1\)</math> ça revient à dire que durées et longueurs sont deux grandeurs ayant la même unité. Ce n'est pas le cas même si <math>\(c=1\)</math> longueurs et durées restent des grandeurs sans rapport l'une avec l'autre. Elles sont en revanche intimement liées à la structure de l'espace-temps en relativité.

<math>\(k_B\)</math> n'a pas le même rôle fondamental... d'ailleurs, une température, ça n'est qu'une mesure de l'énergie cinétique d'agitation microscopique d'un corps ? une température, c'est une énergie.

...alors qu'une durée n'est pas une longueur