Bonjour, j'ai un problème au niveau de la compréhension de la résolution de l'équation différentielle qui me torture depuis cet aprèm

Es espérant que quelqu'un ici pourra m'aider (merci d'avance à celui/celle qui prendra le temps de m'expliquer )


1) schèma :


2) Loi d'additivité des tensions ou loi des mailles
E = Uc + Ur
donc <math>\(E = Uc + RC \dot{Uc}\)</math>
<math>\(\equiv E = Uc + \tau \dot{Uc}\)</math>

3) trouver Uc(t)
Les solutions sont de la forme :
<math>\(Uc = A\exp(Dt)+B\)</math>

Pour trouver B et D on dérive et on rapporte dans l'equa diff :
<math>\(\dot{Uc} = AD\exp(Dt)\)</math>

D'où : <math>\(E = B+A\exp(Dt) (1+D\tau)\)</math>


Mon problème est précisément ici, en effet tout les cours que j'ai pu voir et aussi mon corrigé de bac blanc me disent que comme l'équation différentielle doit être valable quelque soit 't' , on a :
<math>\(A\exp(Dt) (1+D\tau) = 0\)</math>

Bien, je ne comprends absolument pas en quoi le fait que l'équation doit être vérifié quelque soit 't' nous permette d'écrire <math>\(A\exp(Dt) (1+D\tau) = 0\)</math>

Donc si quelqu'un sait pourquoi <math>\(A\exp(Dt) (1+D\tau)\)</math> , et voudrait bien prendre le temps de me l'expliquer, ça m'arracherais une épine du pied et j'en serais très reconnaissant

Merci d'avance

De manière générale, je te conseille plutôt de résoudre l'équation homogène (donc ton équation différentielle avec 0 à la place de E) et d'y ajouter la solution constante particulière.
Supposons que l'on ne veuille (puisse ?) pas, comme elle est valable pour tout t, prend la limite lorsque Dt tend vers - infini, tu trouves B = E, ainsi, tu choisis un autre t et pour que l'equation reste juste, tu trouves que le terme doit être nul.
Ça te convient ?

Ps : on peut montrer que quand t tend vers l'infini, l'exponentielle tend vers 0 simplement. Par l'absurde ça se conçoit bien. Il n'existe jamais de divergence en physique, donc si D est positif, alors exp(Dt) tend vers + infini. Or exp(Dt)(1+D tau) = E - B qui ne vaut pas l'infini, donc (1+D tau) doit être nul, donc D = -1/tau ce qui montre que D ne peut pas être positif.

Bonsoir,

Je ne sais pas comment ton professeur vous l'a expliqué , mais je ne pense pas que ce soit nécessaire de retenir la forme de la solution.

En effet, dans la plupart des exercices de type "BAC", il n'est pas demandé de montrer quel est l'écriture de la solution. Il nous sera demandé de vérifier une solution proposée.

Personnellement, je retiens la méthode pour trouver l'équation différentielle puis celle pour montrer que la solution qu'on nous donne est solution de cette équation.

@Morgin :

Citation

De manière générale, je te conseille plutôt de résoudre l'équation homogène (donc ton équation différentielle avec 0 à la place de E) et d'y ajouter la solution constante particulière.

hmm... tu entends quoi par "solution constante particulière ?"

Citation

Supposons que l'on ne veuille pas

supposons que l'on ne veuille pas quoi ??


@Pierrickc42 :
oui je sais que dans les types BAC on nous demande plus souvant de vérifier une solution proposée.
sauf que la solution proposée dans les exercices types BAC circuit RC posséde toujours ces 3 constantes à trouver, et bien que je sois parfaitement capable de t'écrire tout les calcules à faire et en ayant tous les points à la fin, j'aimerais quand même comprendre ce passage très important, parce que je trouve embêtant de ne pas être capable à chaque ligne de calcule d'expliquer en français pourquoi on fait telle ou telle chose. Même si ça n'est pas demandé d'expliquer, si on n'en est pas capable c'est qu'on a pas compris le cours et qu'on ne fait que le recracher.

Et bien que l'on veuille pas résoudre l'équation différentielle.
Mon post te permet de comprendre tout de même, il s'agit de prendre la limite en +infini.

Pour ce qui est de la résolution d'une équation différentielle, on cherche toujours la solution homogène et on apprend en terminal je crois comme les résoudre. Ensuite on sait que si on a deux solutions, la somme des deux sera solution. Donc on cherche une solution constante (donc la dérivée est nulle) et on trouve directement B=E, que l'on additionne à la solution homogène Aexp(-t/tau) et hop, c'est dans la poche

Oui Oui je sais résoudre l'équation homogène.
je n'avais pas pensé qu'on pouvait résoudre l'équation homogène donc =0 d'une part pour y ajouter 'B' par la suite.
Mais vue comme ça tout de suite c'est plus simple

Pour la suite, je sais bien que exp(x) toujours supérieure à 0, donc du coup (1+Dtau) = 0, et du coup D = -1/tau .
Pas de soucis de ce côté là

Merci pour ta réponse, je peux enfin dire avoir compris tout mes cours de physique de terminale

Oui oui, toutes les équations différentielles linéaires peuvent se résoudre ainsi, principe de superposition des solutions. Par contre c'est parfois complexe et coûteux en recherche de trouver une solution particulière !

Bonjour!

Etant moi aussi en Tle S, je voulais juste te dire que tu peux "facilement" résoudre l'équation différentielle grâce.. aux maths!

En effet, tu trouves au final que ton équation différentielle est E = Uc + RC * (Uc)' (désolé pour ma formule qui manque de style, je ne sais pas comment vous faites!)

On a vu en maths qu'une équation différentielle de la forme y'=ay+b a pour ensemble de solutions y(x)=exp (ax) - b/a

Il suffit d'identifier y, y', a et b.
L'équation différentielle proposée peut également s'écrire: E/RC = Uc/RC + (Uc)' donc E/RC - (1/RC)*Uc = (Uc)', donc par identification, y'= (Uc)', y= Uc a= -1/RC et b=E/RC.

Ainsi, l'ensemble des solutions est Uc(t) = D* exp(-t/RC) + (E/RC)/(1/RC)avec D solution particulière réelle (tu poses Uc(t)=0, en général D = (E/RC) / (1/RC), je te laisse le plaisir des calculs ;)!
Et ça marche également pour la décharge, le dipôle RL et RLC.
Voila, donc si jamais le jour de l'épreuve tu flanches, tu peux quand même retrouver la (les) solution(s) de cette équation différentielle!

J'espère t'avoir aidé, je te souhaite une bonne semaine de révisions, et.. merde pour le bac!
Lil_St

Alors oui je peux mais après avoir demandé à mon professeur pourquoi on n'utilisait pas les formules qu'on voyait en math, celui-ci m'a tout simplement dit que ce n'était ce qu'on attendait de nous en physique (enfin je me rappelle plus exactement la phrase, mais quelque chose dans le style ^^), et aussi en passant qu'on n'aurait pas tous les points si on les utilisaient (sauf pour y' = ay)

Bref, je préfère ne pas tester le jour du bac
Mais tout ce que tu dis est cependant parfaitement exacte, j'avais aussi fait le rapprochement physique/math pour bien comprendre à l'époque


Pour la formule, utilise la balise "<math>" (y'a des tuto pour l'utiliser)

(par contre j'aimerais bien que tu m'explique comment tu as pu résoudre RLC avec les math alors qu'on s'arrête aux équa diff de première ordre, qui sont déjà à la limite du programme )

On passe par des polynômes et on resout ce que l'on appelle équation caractéristique.
Par exemple, pour l'équation (je suis sur un téléphone donc je présente sans la balise maths) : y'' + ay' + by = 0 on utilise le polynôme x^2 + ax + b, on cherche ses racines. S'il en a deux distinctes, on les note r1 et r2. On sait que la solution est Aexp(r1 t) + Bexp(r2 t). Ça marche aussi si r1 et r2 sont complexes, c'est ainsi que nous obtenons des sinus et cosinus (formule d'euler). Si la racine est simple, on a comme racine r et la solution est (A + Bt)exp(rt)

Voilà, la théorie pour prouver cela est beaucoup plus complexe, j'ai en tête la démonstration par espaces vectoriel de dimension 2 qui demande cependant un peu trop de temps et surtout de connaissance. Tu verras la résolution boutonné l'an prochain si tu fais des sciences.