Bonjour,

J'ai exercice à faire en spé maths, le voici :

Dans un plan muni d'un repère, on trace l'hyperbole d'équation y= 8/x

Déterminé les points de la courbe à coordonnés entières. 

Je sèche totalement sur cet exercice, en me penchant dessus j'ai juste déduis quelque chose (de très simple enfaîte) que x divisé  y donc qu'il existe un réel k tel que y =kx.

Je suppose donc qu'il faudrait faire quelque chose du genre y/x =k et si k est un entier naturel alors les deux coordonnés sont un point de la courbe. Mais on ne va pas faire ça jusqu'à l'infini. Ducoup je n'arrive pas à comprendre comment mettre le problème sous forme général.

Juste une petite piste si on remplace y par 8/x et sue l'on fait y/x =k alors k=8. Ducoup cela voudrais dire que les points sont entier lorsque x est un multiple de 8 (je crois). Mais on en revient au même problème. Cela marchera pour 8000000 et ce n'est pas un cas général. 

Merci d'avance pour votre aide. 

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Edité par MelvinMoriniere 17 septembre 2018 à 18:37:57

si \( y=\frac{8}{x  } \) , penses tu sérieusement que y sera entier si x  est un multiple de 8 , donc plus grand que 8, donc \( 0< y<1 \)  

Que doit être x par rapport à 8 pour que \(  \frac{8}{x  } \) soit entier ? ....

( remarque:     entier naturel  ou relatif  ? même si cela ne change rien au raisonnement, cela change le nombre de solutions) 

Tu t'es planté dès la 1ère phrase :  j'ai juste déduis quelque chose (de très simple enfaîte) que x divisé  y

Ceci est faux.

D'accord bon merci à vous j'ai compris que je me suis carrément planté sur toute ligne xD. Même ce que je croyais être bon ne l'est même pas.

Ducoup Sennacherib, je pense que pour que y soit entier il faur que x soit de la forme 1/n. Comme ça en multipliant par l'inverse on obtient y = 8n

Et ce n'est as précisé dans l'énoncé je me suis posé la même question. Ducoup je pense que c'est à nous de choisir pour voir si l'on a bien compris la différence entre les deux. 

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Edité par MelvinMoriniere 17 septembre 2018 à 21:09:08

???  Je n'ai rien compris à ta réponse.

On cherche x entier, et tu dis que x doit être de la forme 1/n ?

C'est BEAUCOUP Plus simple que ce que tu recherches.

On cherche x entier. Donc essaie avec x=0 puis 1 puis 2 etc. A chaque fois, tu calcules y avec la formule y =8/x, et tu regardes dans quels cas y est entier. Tu devrais trouver très vite toutes les solutions. Après, il faudra mettre un peu de formalisme pour expliquer tout ça.

En fait, pour essayer de faire TRES simple, pour que y soit un entier, il faut que 8 soit divisible par x. Étonnamment, ça colle bien avec le thème de ton exo : "Divisibilité".

A partir de ça, à toi de voir comment faire pour trouver les valeurs de x qui correspondent.

Règle n°1 des maths : bien lire l'énonce.

La phrase "Les points de la courbe à coordonnées entières", ca veut dire quoi ? Ca veut dire que x ET y sont des entiers. Donc x = 1/n ? Et bien, pour quel valeur de n x est un entier ?

Et d'ailleurs, pourquoi pas x = 2/n ? Ca ne fonctionnerait pas ?

L'exo en soit est particulièrement simple une fois qu'on a bien compris l'énoncé et les questions. C'est surtout ça ton soucis pour le coup.

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Edité par Tiffado 18 septembre 2018 à 10:38:57

Bonjour,

Ce type d'exercices se résume à utiliser la technique suivante :

J'écris mon équation sous le forme : mes variables à gauche = un entier relatif \(k\); ici \(y=\frac{8}{x}\) est équivalent à \(xy=8\).

Si tout va bien, on peut mettre le terme "mes variables à gauche" sous la forme d'un produit d'entiers dépendant des variables.

Ici, c'est déja le cas puisque \(xy\) est un produit d'entiers (puisqu'on cherche des solutions entières).

Ainsi, on liste les produits de diviseurs de \(k\) qui sont égaux à \(k\) (ici \(8\)) et... je te laisse conclure !

Tu peux tenter l'expérience avec la recherche des solutions entières de \(x^2=15+y^2 \) par exemple, pour voir si tu as compris la méthode !


Bien-sûr cette technique ne marche pas à tous les coups puisque l'équation de départ ne se transforme pas toujours sous la forme que j'ai indiquée plus haut; mais dans le cadre de la Spé Maths :

- s'il n'y a pas de questions subsidiaires avant l'équation à résoudre, on peut utiliser la méthode que je t'ai présentée;

- s'il y a d'autres questions avant, et bien on répond à ces questions et elles nous aident à trouver les solutions entières autrement !

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Edité par sylpro 19 septembre 2018 à 13:33:11