Bonjour, j'embete encore le monde avec un exercice trop vague...

J'ai la suite <math>\(u_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2}\)</math> et je doit montrer par recurrence que <math>\(\forall n \in \mathbb{N}\)</math>, on a <math>\(7 | u_n\)</math> c'est-à-dire <math>\(u_n\)</math> divisible par <math>\(7\)</math>.

J'ai fait l'initialisation et c'est vrai au rang 0 et je dois alors montrer que <math>\(u_{n+1} = 3^{2n+3} + 2^{n+3}\)</math> mais je ne sais pas par où commencer, des indices ? Merci à vous.

PS : à la base je suis parti avec <math>\(u_{n+1} = 3^{2n+1} \times 3^2 + 2^{n+3} \times 2^1\)</math> mais après c'est les ténèbres...

Tu pourrais essayer de remplacer 3^(2n+1) par -2^(n+2)+7k par hypothèse de récurrence avec un certain k

Merci, j'obtiens donc <math>\(u_{n+1} = -2^{2n+5} + 7k\)</math>. Est-ce que ça suffit pour terminer mon raisonnement par récurence et dire que <math>\(7|u_{n+1}\)</math>

Tu as une drôle de manière de calculer les puissances de 2 toi :

ah merde c'était une somme de 2...

mais tu pourrais factoriser par une certaine puissance de 2 ?

raté

heu non là c'est complètement faux

J'ai ça : <math>\(u_{n+1} = 2^{n+3} + 3^{2n+1} = 2^{n+3} - 2^{n+2} + 7k\)</math>

Car : <math>\(3^{2n+1} + 2^{n+3} = 7k \Leftrightarrow 3^{2n+1} = 7k - 2^{n+3}\)</math>

Mais je fais quoi ensuite ?

Tu oublies un 3 au carré par exemple donc forcément ça peux pas marcher, une fois que ça sera correct tu auras :
un 7k et deux termes contenant des puissances de 2.
En factorisant par la plus grande puissance de 2, tu devrais voir apparaître des choses.

Bonjour,

Les congruences permettent, me semble-t-il de conclure directement sans récurrence,...si mes souvenirs sur la question sont justes...
on peut écrire identiquement :
<math>\(\[ 3^{2n+1}+2^{n+2}=3.9^{n}+4.2^{n} \]\)</math>
Or:
<math>\(\[ 9\equiv 2 \]\)</math><math>\(mod(7)\)</math>
<math>\(\[ 3\equiv -4 \]\)</math><math>\(mod(7)\)</math>

Il me semble alors que les opérations multiplicatives et additives licites sur les congruences de même modulo permettent de conclure à la divisibilité par 7 de l'expression de départ.
non ?

L'exercice est malheuresement clair «résoudre par récurrence» de plus il se peut qu'il n'est pas encore vu les congruence ou que son exercice soit là non pas pour tester sa compréhension des congruences mais pour tester l'application du principe de récurrence.

J'ai trouvé : <math>\(2^{n+2}(-3^2+2) = 2^{n+2} \times -7 + 7k\)</math>
C'est bon ?

EDIT : C'est un exercice de obligatoire pas de spé, donc pas de congruence, même si c'est plus simple... (en plus on ne l'a pas encore fait en spé)

Ben ça m'a l'air divisible par 7 donc oui c'est bon.

Sauf que si je ne m'abuse 7k sera multiplié par 9 à un moment mais ça ne change rien au résultat.

Et il sort d'où le 9 ?

Ici je dois dire que c'est divisible avec le théorème des combinaisons linéaires en obligatoire spé?

Non factoriser par 7 suffira.
Quand tu remplaces 3^(2n+1) par 7k - machin,
en utilisant la définition de u(n+1) tu vas faire apparaître un 9=3^2 qui va multiplier 7k-machin

c'est qu'il y a un soucis dans tes calculs dans ce cas, à la fin j'obtiens : <math>\(u_{n+1} = 7(k-2^{n+2})\)</math> et j'ai jamais vu de 9...

Citation : log_i

Bonjour, j'embete encore le monde avec un exercice trop vague...

J'ai la suite <math>\(u_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2}\)</math> et je doit montrer par recurrence que <math>\(\forall n \in \mathbb{N}\)</math>, on a <math>\(7 | u_n\)</math> c'est-à-dire <math>\(u_n\)</math> divisible par <math>\(7\)</math>.

J'ai fait l'initialisation et c'est vrai au rang 0 et je dois alors montrer que <math>\(u_{n+1} = 3^{2n+3} + 2^{n+3}\)</math> mais je ne sais pas par où commencer, des indices ? Merci à vous.

PS : à la base je suis parti avec <math>\(u_{n+1} = 3^{2n+1}\underline{ \times 3^2} + 2^{n+3} \times 2^1\)</math> mais après c'est les ténèbres...

Or il me semble qu'après tu remplaces 3^(2n+1) par 7k-2^(n+2) ?

Exact, sujet résolu.