EDIT : contre-exemple trouvé pour de très grands nombres. Le sujet est donc résolu et je laisse le message ici tel qu'il était pour ceux que ça intéresse. Merci.
Bonjour à tous,
J'aimerais démontrer ce qui suit.
Soit sigma(k) la somme des diviseurs d'un entier naturel k, k compris. Si le reste de la division de sigma(6k+1)-1 par 12 vaut 1 alors sigma(6k+1)-1 est forcément un nombre premier.
Autrement dit le reste retourné ne vaudrait jamais 1 si sigma(6k+1)-1 n'est pas un nombre premier.
On peut encore reformuler le problème ainsi : il n'y aurait jamais de nombres non premiers de la forme 6k+1 retournés par la formule et dont le reste vaut 1 lorsqu'on les divise par 12.
J'ai une piste : c'est que tous les nombres premiers sont de la forme 6k+1 ou 6k-1 (exceptés 2 et 3). Mais je ne vois pas ensuite comment prouver que si le reste vaut 1 alors sigma(6k+1)-1 est forcément un nombre premier.
J'insiste sur le conditionnel, c'est une observation que j'ai faite (y compris avec des nombres impliquant des dizaines de chiffres) et je n'y ai pas trouvé de contre-exemple pour le moment.
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