Bonjour à tous.
Voilà c'est à propos d'un DM de maths qu'on nous a donné pour les vacances (qui finissent ce dimanche). Je galère avec depuis vendredi dernier, j'ai réussi quelques questions, d'autres pas (en MPSI, c'est toujours comme ça, je pense..)
Bref, j'aimerais que vous m'aidiez à terminer. Des indications, astuces etc seront les bienvenues
Le sujet est réparti en 3 parties. Commençons par la première:
On s'intéresse aux applications <math>\(R \rightarrow R\)</math> vérifiant l'équation fonctionnelle suivante:
<math>\((E): (\forall x \in R^2) , f(x+y) + f(x-y) = 2( f(x) + f(y) )\)</math>

I) Recherche des solutions
Soit f une application vérifiant (E)

(a) déterminer la valeur de f(0)
(b) Etudier la parité de f
(c) Pour <math>\(n \in N et x \in R\)</math>, montrer que <math>\(f(nx) = n^2f(x)\)</math>
(d) Déterminer <math>\(f|_Q\)</math>, la restriction de f à <math>\(Q\)</math>
(e) Déterminer les solutions de (E) continues sur <math>\(R\)</math> ou croissantes sur <math>\(R_+\)</math>

Mes réponses:
(a) f(0) = 0
(b) f est paire, car définie sur R (centré en 0) et f(y) = f(-y), il suffit de prendre x=0
(c) par récurrence forte
(d) j'en sais rien
(e) idem..

SOS!

d)
<math>\(\begin{align}\forall (x,q)\in\mathbb{R}\times\mathbb{N}^\star,\\ f(x)=f\left( q\cdot \frac{x}{q}\right)&=q^2 f\left(\frac{x}{q}\right)\\\implies f(\frac{x}{q})&=\frac{1}{q^2}f(x)\end{align}\)</math>

Donc <math>\(f\left(\frac{p}{q}\right)=\)</math>



Cette méthode est très classique...
e)Indice:


Edit: merci sebsheep

Citation

f(p/q)=(p/q)²

C'est faux, il manque un truc ... je te laisse corriger...

Euh je ne comprends pas...

C'est normal, il y avait une autre erreur, maintenant c'est bon (enfin je crois). L'idée de base étant d'écrire que <math>\(x=q\frac{x}{q}\)</math>, puis d'utiliser ce que tu as déjà démontré avant.

Je n'ai démontré que pour N, pas pour Q

Oui et tu prends <math>\(q\in\mathbb{N}^\star\)</math> (ce n'était pas ce que j'avais écris ).
Le but est de trouver l'image d'un rationnel (d'où la question), donc tu écris un rationnel de la forme <math>\(\frac{p}{q}\)</math> et tu calcules son image.

Bonjour , pour e)On peut déjà déterminer une solution ,

C'est réglé pour le (d), merci
Le (e) pose toujours problème..

<math>\(\forall x\in\mathbb{R},\exists (x_n)\in\mathbb{Q}^\mathbb{N}, \lim_{n\to+\infty}x_n=x\)</math>.
Donc par continuité de f:
<math>\(f(x)=\lim_{n\to+\infty}f(x_n)\)</math>
Mais tu connais <math>\(f(x_n)\)</math>, car <math>\(x_n\)</math> est un rationnel, donc ...

Si f est croissante, tu prends deux suites de rationnel adjacentes de limites x tel que:
<math>\(x_n<x<y_n\implies f(x_n)<x<f(y_n)\)</math>
D'où la conclusion quand f est croissante (fais tendre n vers l'infini)

<math>\((\forall x \in \mathbb{R}) (\exists x_n \in \mathbb{Q})\)</math> \ <math>\(\lim_{n\to+\infty}x_n=x\)</math>
Par continuité de f,
<math>\(\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(x)\)</math>
donc <math>\(\lim_{n\to+\infty}(x_n)^2f(1)=f(x)\)</math>
d'où <math>\(f(x)=x^2f(1)\)</math>

C'est ça?
Si oui, il faudrait calculer f(1) je crois.

Oui c'est ça:

• la fonction est définie à une constante près ici f(1)
• il faut vérifier que les fonctions obtenues sont bien solutions, pour avoir par exemples des conditions sur les constantes: on a supposé qu'un telle fonction existait et donc elle est de la forme <math>\(cx^2\)</math>, après il faut vérifier que toutes les fonctions de cette forme sont bien solutions

Par analyse synthèse:
<math>\(f(1)(x+y)^2 + f(1)(x-y)^2 = 2f(1)x^2 + 2f(1)y^2 = 2(f(1)x^2+f(1)y^2)\)</math>

CQFD?