On pose <math>\(z=\frac{3+4i}{5}\)</math>. On a donc <math>\(|z|= \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1}=1\)</math>.
Donc <math>\(z=\cos{\theta}+i\sin{\theta} = \frac{3}{4}+i\frac{4}{5}.\)</math>
D'où <math>\(\cos{\theta} = \frac{3}{4}\)</math> et <math>\(\sin{\theta}=\frac{4}{5}\)</math>.
D'après la formule de de Moivre, on a <math>\(z^n = \cos{n \theta}+i\sin{n \theta}\)</math>
De plus, <math>\(z^n \in \mathbb{R} \Leftrightarrow Im(z)=0 \Leftrightarrow \sin{n \theta} = 0\)</math>
Donc <math>\(n \times \theta \equiv 0 (\pi) \Leftrightarrow n \theta = k \pi\)</math>, avec <math>\(k \in \mathbb{N}^*\)</math>
Comme <math>\(\theta \neq 0\)</math>, on a <math>\(\frac{n}{k} = \frac{\pi}{\theta}\)</math>.
Et là, j'arrive pas à montrer que <math>\(\frac{\pi}{\arcsin{\frac{4}{5}}}\)</math> ne peut être rationnel... Comme <math>\(\arcsin{\frac{4}{5}}\)</math> est transcendant, au moins l'un de <math>\(\pi+\arcsin{\frac{4}{5}}\)</math> et <math>\(\pi \times \arcsin{\frac{4}{5}}\)</math> l'est. Mais comment montrer que le produit des deux l'est?
Si vous avez des pistes. (Je dois me compliquer la vie, non? )