Bonsoir !

Je suis en seconde, et l'on vient de parler des ensembles de définitions de fonctions, je n'ai rien compris...
Ma prof nous a donné un exercice simple, mais je n'y arrive pas.

<math>\(f:x\rightarrow x^2+3x-\sqrt{x}\)</math>
<math>\(g:x\rightarrow \frac{x}{x-1}+7\)</math>
<math>\(h:x\rightarrow \sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2-x}\)</math>

Si quelqu'un pouvait m'expliquer ne serait-ce qu'un dixième de ma leçon, ce serait déjà merveilleux.

Merci d'avance pour votre aide, fishhareng

L'ensemble de définition, c'est toutes les valeurs que peut prendre x dans une équation sans qu'il y ait de problème. J'entends par problème le fait que prendre une valeur de x hors de l'ensemble de définition mène à l'impossibilité de trouver une valeur qui permet de résoudre l'équation.

Prenons un exemple : <math>\(f(x)=\sqrt{x}\)</math>

<math>\(f(2)=\sqrt{2} = 1.414\)</math> : On a trouvé une valeur, 2 est donc de l'ensemble de définition de <math>\(f\)</math>.
<math>\(f(-5)= ???\)</math> : On a pas trouvé de valeur, -5 n'est donc pas dans l'ensemble de définition de <math>\(f\)</math>.

Il serait bien sûr impossible de tester toutes les valeurs car il y en a littéralement une infinité. On s'appuie donc sur la connaissance des ensembles de définition des fonctions qu'on connait bien (racine carré dans ton cas) et des opérations interdites (division par zéro par ex.).

Merci, je viens de comprendre le principe, mais qu'entends-tu par ta dernière phrase? Comment trouver ces ensembles de définitions?

Merci, fishhareng

Exercice de réflexion : Quel valeur peut prendre <math>\(x\)</math> dans l'équation <math>\(f(x) = \frac{1}{x}\)</math> ?

Tu peux répondre avec juste tes connaissances sur les fractions.

tout sauf 0?

Exactement. On dit que l'équation est défini sur l'ensemble des réels à l'exception de 0. On note aussi <math>\(\mathbb{R^*}\)</math>. Le R désignant l'ensemble des réels et * le fait qu'on ne prend le 0.

Maintenant, quel est l'ensemble de définition de <math>\(\sqrt{x}\)</math>. Je te rappelle que c'est l'inverse de l'élévation au carré. Si tu ne vois pas, tu peux cherche un tracé de la courbe et en déduire l'ensemble de définition.

Je pense que c'est tout sauf 0 et négatif?

La racine carrée de 0 existe

Sinon c'est ça, cette fonction est définie sur [0 ; +infini[, autrement dit sur <math>\(R+\)</math> (l'ensemble des réels positifs).

OK, merci. Je pense avoir pigé grâce à vous le truc, mais pourrais-je abuser de votre faveur et obtenir un exemple concret?

Oui si ca peut t'aider à comprendre n'hésite pas.

Citation : fishhareng

mais pourrais-je abuser de votre faveur et obtenir un exemple concret?

Tu peux combiner les contraintes par exemple avec <math>\(\sqrt{x+1}+\frac{\sqrt{-x}}{x+\frac{1}{2}}\)</math> Le but est de trouver les x qui respectent toutes les conditions : ainsi pour pouvoir calculer la première racine il faut que x+1 soit positif soit x plus grand ou égal à moins 1, pour pouvoir calculer la deuxième racine il faut que -x soit positif il faut donc que x soit négatif. De plus pour pouvoir diviser par x+ un demi, il faut que cette quantité soit non nul, il faut donc que x soit différent de un demi.

Il faut donc réunir toutes les conditions ainsi l'ensemble de définition est [-1,0] privé de -1/2

Essaye de faire le premier exemple et écris nous ta résolution et si ça coince, montre nous où.

En fait, je ne sais pas par où m'y prendre, sinon, je pense que c'est l'ensemble des réels à partir de 0 jusque l'infini positif?

EDIT: L01c, je pense que tu vas un peu vite pour moi...

Prenons un de tes exercices alors :
<math>\(h:x\rightarrow \sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2-x}\)</math>

Tu sais que la racine carrée est définie si les valeurs qu'elle prend pour argument appartiennent à <math>\(\mathbb{R}^{*+}\)</math>

En clair tu cherches quand <math>\(x^2+1\geq0\)</math>, je te laisse le soin de résoudre cette inéquation.

Tu remarques également une fraction, pour qu'elle soit définie, il faut que le dénominateur soit différent de 0. Or comble de malheur il semble qu'il y ait une valeur interdite...

L'ensemble de définition de h sera alors l'intersection des ensembles de définition des différents éléments la composant, ce qui ne devrait pas être trop dur à trouver

Je vous remercie vraiment de votre aide, mais je bloque sur un truc basique que Manuu vient de me trouver : l'inéquation avec une puissance.
Je bloque losque j'arrive à <math>\(x^2 \geq -1\)</math>
Sinon, pour la suite (fraction), je pense que c'est toute les valeurs de x sauf quand <math>\(x=2\)</math>

Ne me frappez pas...

Et encore merci

Et tu connais beaucoup de x toi tel qu'on ait pas x^2 plus grand que -1 ?

Par définition x^2 est supérieur ou égal à 0, donc fatalement x^2 est toujours supérieur ou égal à -1.

C'est donc vrai pour tout x.

Ce qui donnerait :

<math>\(]-\infty;2[\cup ]2;+\infty[\)</math>?

Pour cet exemple, oui c'est bien ça

Super !
Et ça donnerait : <math>\([0;+\infty[\)</math> pour le 1, et <math>\(]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\)</math> pour le 2?

Merci beaucoup !

Oui c'est ça