Bonsoir, j'aurai besoin de l'aide de quelqu'un pour un problème de physique, et plus particulièrement de mécanique.
Voici le problème :
Je travail actuellement sur un projet de moteur physique et j'étudie en ce moment le phénomène de chute libre. A première vue pas de problème, je ressors juste mon cours... On suppose qu'il n'y a que le poids qui intervient dans la chute, on a donc a=g
Comme c'est une chute libre je vais pas écrire les composantes x et y qui seront toujours nuls, on a donc:
az = -g
vz = -gt + v0
z = -0.5gt² + v0 t + h

Etant donné que le système change à chaque instant, on peut déterminer les composantes à un instant t' par rapport à l'instant précédent t.

(vz)' = -g(t' - t) + vz
z' = -0.5g(t' - t)² + vz (t' - t) + h

Le problème intervient lorsque mon objet atteint le sol... Une nouvelle force intervient dont l'intensité est égal au poids mais de sens opposé, ce qui donne:
a = 0
(vz)' = vz
z' = vz (t' - t) + h

On voit donc bien que d'après l'équation l'objet va continuer de tomber car la hauteur dépend de la vitesse qui elle va être constante et différente de 0... Et je ne vois pas comment régler le problème au niveau des équations.

Merci à celui qui trouvera la solution et bonne nuit.

À partir du moment où ton objet touche le sol (à voir comment connaitre ce moment), on peut estimer qu'il se produit 2 forces :

Un force de réaction du support, R = -P. Valable quand l'objet touche le support. Dès lors, plus d'accelération dû à la gravité.

Une force de frottement lorsque l'objet tente de traverser le sol :
F = -kv ou F = -kv². k dépend surtout du matériau, probablement aussi de l'objet. Donc la vitesse va décroitre, plus ou moins vite selon le matériau et la vitesse initiale (et une balle peut traverser un mur).

Et, selon l'élasticité du sol, tu peut aussi rajouter, peut être, une poussée d’Archimède (ou assimilé)

Sauf que cette force pause un nouveau problème... Selon la 2e loi de newton( si je me plante pas dans le numéro) on a : P + R + F = ma
d'où : F = ma => -kv = ma => a = -kv/m
j'ai donc à l'instant où l'objet touche le sol :
v' = v - kv(t' - t)/m = v(1 - k(t' - t)/m)
Et donc si on veut que l'objet se stop (par exemple un livre qui tombe sur le sol, pas de rebondissement et le livre ne traverse pas le sol) on devrait avoir v' = 0... Et pour ça il faut soit v = 0, ce qui permet de dire qu'une fois que la vitesse est nulle elle le restera si aucune autre force n'intervient. Mais avant cela, v ne l'est pas et donc il faut que (1 - k(t' - t)/m) = 0, or si k est une constante lié au matériaux il ne devrait pas dépendre du temps.

hum puis-je mettre mon grain de sel ici ?

@namo : tout me convient peu de choses me conviennent dans ton explication la poussée d'Archimède ne va pas en effet, cette force est caractéristique des corps qui sont en immersion. Et puis, y'a pas de force en <math>\(kv^2\)</math> ça c'est pour les frottements en chute libre dans un fluide à "haute vitesse" (les spécialistes parleront d'un nombre de Reynolds élevé)...

Pour répondre à la question : disons que... dans ce problème, il faut étudier l'élasticité/l'inélascité de la collision balle/sol. La résolution que tu proposes à l'origine est mal posée. En fait, il faut plutôt voir cela comme un problème énergétique. Je m'explique.

D'un point de vue des forces, il faut faire intervenir des outils de la mécanique qui n'ont, je pense, pas leur place dans le cadre de ton étude ; j'ai nommé : la mécanique des solides déformables dynamique

Dans le cas de ta résolution : (cf post 1) : ce qu'il faut faire c'est non pas décomposer la collision en un seul phénomène (la réaction de la 3ème loi de Newton), mais la décomposer en deux étapes. Je vais tâcher de tout expliquer ici

L'adsorption

Dans un premier temps, la balle arrive sur le sol avec une vitesse, disons, <math>\(v_{\textrm{sol}}\)</math>. Quand la balle frôle le sol, elle va commencer à se déformer ainsi que le sol, même très peu (la déformation est en fait souvent si faible qu'elle est quasi invisible à l'œil nu). C'est dans cette déformation qu'on va stocker l'énergie cinétique de la balle, pour transformer cette énergie cinétique en "déformation" (balle et sol).

La désorption

Ensuite : la balle est à l'arrêt complet, toute son énergie cinétique s'est transformée en déformation. Sa vitesse est maintenant <math>\(v'=0\)</math>. Seulement, cette situation n'est pas énergiquement stable. En effet, balle et sol sont déformés. Ces deux derniers vont alors vouloir retrouver leur forme de départ (la plus stable).

Cette énergie potentielle de déformation va ré-alimenter la balle en énergie cinétique, mais dans l'autre sens : c'est la fameuse 3ème loi de Newton, et c'est à ce niveau qu'elle intervient et pas ailleurs ! Eh oui, le principe de l'action et de la réaction s'applique ici car la balle est à l'arrêt, en contact avec le sol, et la balle pousse sur le sol (force vers le sol), donc naissance d'une force en sens inverse (force vers le ciel).

Cette force sera d'intensité au plus égale à la quantité d'énergie de déformation (potentielle) stockée par la balle

Chocs élastiques, inélastiques, mous

...il reste une dernière chose qu'on peut développer en effet, la balle ne réintègre en général pas toute sa vigueur quand elle se met à remonter. Que s'est-il passé ? Eh bien, en quelque sorte, dans la phase de l'adsorption, la balle n'a pas vu toute son énergie cinétique convertie en énergie potentielle de déformation. On distingue alors plusieurs cas :

• Choc élastique (la superballe ) : dans ce cas, quasiment toute l'énergie cinétique est stockée lors de l'adsorption sous forme d'énergie de déformation (potentielle). La balle lâchée à une altitude <math>\(h\)</math> reviendra après rebond à cette altitude.
• Choc inélastique (une balle en caoutchouc ) : situation où une partie seulement de l'énergie cinétique est transformée en énergie potentielle de déformation. L'autre partie est tout simplement perdue (non recyclable en énergie de mouvement) sous forme de chaleur.
• Choc mou (ou profondément inélastique : de la pâte à modeler qui tombe au sol) cette fois-ci, quasiment toute l'énergie cinétique est perdue lors de l'adsorption sous forme de chaleur.

On comprend bien ici le rôle de la décomposition en deux phases.

Reste encore à comprendre que, pour pouvoir décider du type de choc auquel on a affaire relève de la nature de la balle et du sol

Superballe/pot de mayonnaise : choc mou par exemple... mais un verre (pour boire)/carrelage : choc élastique hem... En fait, cela est dû au fait que le verre se brise pendant l'adsorption (le verre c'est très élastique comme matériau mais c'est très fragile... les puristes diront que le verre n'est pas un matériau ductile ), et ainsi l'étape de la désorption n'a pas eu le temps de se faire !

Bref... ce problème est assez compliqué à expliquer à l'aide des lois de Newton seules. Il faut vraiment passer par l'étape d'adsorption dans laquelle se produit la déformation (élastique, inélastique, profondément inélastique, mou... d'un matériau élastique, ductile, fragile...).

Tout d'abord merci heizmann pour cette explication, je dois avouer que je n'avais pas connaissance des phénomène d'adsorption et de désorption. Je vais donc essayer de les implémenter dans mon moteur physique. Me reste plus qu'à trouver comment traduire ces phénomènes sous forme de calcul =D

Citation : theLastShot

Tout d'abord merci heizmann pour cette explication, je dois avouer que je n'avais pas connaissance des phénomène d'adsorption et de désorption. Je vais donc essayer de les implémenter dans mon moteur physique. Me reste plus qu'à trouver comment traduire ces phénomènes sous forme de calcul =D

Suggestion : soit <math>\(E_0\)</math> l'énergie cinétique de départ juste avant la collision. Ben, pour connaître l'énergie cinétique qui sera restituée ensuite, on peut appliquer par exemple un pourcentage "d'élasticité" (de non adsorption) <math>\(p\in\left[0,1\right]\)</math>. Le maximum récupérable sera donc sous la forme : <math>\(E_1=p\times E_0\)</math>

Plus <math>\(p\)</math> est proche de 1, plus ça va rebondir. Plus <math>\(p\)</math> est proche de 0, plus on est proche de l'effet balle/pot de mayonnaise

Oui mais il faut que je trouve un moyen pour relier cette énergie au mouvement. Car faire juste :
si z = 0 alors
v = 0
fin si

dans le cas p = 0, c'est pas franchement terrible...

Si tu as E1=pE0 après tu peut dire (1/2)mv1²=p(1/2)mv0² avec v0 la vitesse avant le choc et v1 la vitesse après le choc. Ensuite ça te donne v1²=pv0² soit v1=racine(p)*vo.
si p=1 ça te donne v1=v0 : la balle repart avec la même vitesse.
si p=0 ça te donne v1=0 : la balle reste au sol

@rom1504 GG ! En gros, c'est cela.

Faut pas trop raisonner en termes de forces ici... Une tite conversion vitesse → Énergie cinétique avant collision → Énergie cinétique après collision → vitesse après choc devrait suffire.

Pour la direction de la vitesse, après collision : l'angle d'incidence avant collision = angle d'incidence après collision

Super, ça marche ! J'ai fait v *= - sqrt(p) parfaitement. Par contre si mon sol est incliné je suppose que je doit multiplier mon vecteur vitesse par la normale du sol, non ?

Citation : theLastShot

Super, ça marche ! J'ai fait v *= - sqrt(p) parfaitement. Par contre si mon sol est incliné je suppose que je doit multiplier mon vecteur vitesse par la normale du sol, non ?

GG ! C'est cela qu'il faut faire effectivement, mais si le sol est incliné il faut un peu modifier comme tu as pu le constater.

Cela dit : multiplier deux vecteurs (vitesse avec la normale) entre eux ??? 'vois pas trop ce que tu veux dire... tu pourrais être plus explicite ?

Il y a ce sujet qui est assez proche de ce que tu cherches je crois pour déterminer la direction de la balle : http://www.siteduzero.com/forum-83-643 [...] ne-ligne.html

Pardon je me suis mal exprimé. Ce que je voulais dire c'est que, sauf erreur de ma part, si je multiplie la matrice I par le vecteur normal de mon sol, j'obtient une matrice de transformation et si je multiplie mon vecteur vitesse par cette matrice je devrait obtenir un vecteur avec la bonne direction. Cependant en écrivant je commence à avoir un petit doute, je pense que je vais faire encore quelques recherches.

hem, pour bien pouvoir t'aider theLastShot quel est ton niveau d'étude ?

2e année d'école d'ingénieur. (normalement c'est censé correspondre à la 2e année de prépa MPSI, sauf qu'on a pas fait de physique mécanique...)

theLastShot okok... essaie plutôt une approche naïve et géométrique plutôt qu'une approche par les matrices... ça n'est pas méchant, mais tu sembles ne pas trop maîtriser l'algèbre matricielle (des espaces euclidiens).

Heu ouais... Sauf que le moteur 3D avec lequel je travail est basé sur les matrices et vecteurs =D

bon courage en ce cas... tu as des connaissances sur le calcul matriciel mathématique ?

A priori je sais faire la multiplication, addition, calcul du déterminant, calcul d'une matrice de translation/rotation/homothétie

D'accord.

En fait, je posais la question parce que :

• "si je multiplie la matrice I par le vecteur normal de mon sol, j'obtient une matrice de transformation" : le résultat ne peut pas être une matrice - au mieux un vecteur, et quand bien même, la matrice "I" est la matrice identité qui est "sans action" sur un vecteur
• "[...]multiplie mon vecteur vitesse par cette matrice je devrait obtenir un vecteur avec la bonne direction" : hem, multiplier un vecteur par une matrice ??? Au pire - en tout cas au niveau qui nous préoccupe - on peut multiplier une matrice par un vecteur, et ce dans cet ordre.

Mais après tout, "I" représente sans doute pour toi ce qu'on appelle en maths plus communément "P" (une matrice de passage orthogonale)...

Effectivement je me suis trompé dans l'ordre, je pensais à : v*(I*n)