Bonjour à tous,

Voici l'énoncé :

Trouver tous les polynômes P et Q à coefficients réels premiers entre eux qui vérifient : P^2 + Q^2 = (X^2+1)^2 et en déduire que l'équation x^2+y^2=z^2 admet une infinité de solutions entières.

J'essaie depuis un bon moment de résoudre cette exercice et je n'arrive à rien de concluant sur la première partie. 

L'étude des degrés ne me donne que deg(P)+deg(Q)<=2, mais je ne parviens pas à trouver une utilité à l'argument de primalité et je n'arrive qu'à des contradictions par la suite. Le travail sur les coefficients est également laborieux donc je ne sais vraiment pas sur quoi partir.

Auriez vous ne serais-ce qu'une piste pour démarrer ?

Je vous remercie d'avance

Bluefrost a écrit:

Auriez vous ne serais-ce qu'une piste pour démarrer ?

Je vous remercie d'avance

une piste peut-être, mais pas nécessairement vers une solution compléte.
On peut trouver au moins une solution en vérifiant  que \(P(x)=x^2-1\) et \(Q(x)=2x\) sont solutions. En soit, ceci suffit à prouver que l'équation \(x^2+y^2=z^2 , x,y,z \in \mathbb{N}\) a une infinité de solutions entières. Il suffit de faire varier \(x\) dans \(\mathbb{N}\) dans l'identité \((x^2-1)^2+(2x)^2=(x^2+1)^2\) pour trouver une infinité de solutions entières.
Tu sais sans doute que on appelle classiquement  les solutions entières  de  \(x^2+y^2=z^2  \) les triplets pythagoriciens.

Mais les deux polynômes ainsi trouvés sont loin de générer toutes les solutions entières de cette équation ( que l'on obtient par d'autres méthodes ). Comme on te demande de trouver tous les polynômes, on peut penser qu'il y en a d'autres   . Sans avoir trop réfléchi, cela ne saute pas au yeux.

En effet, si on développe, on voit que \(P,Q\) doivent vérifier \(P^2+Q^2= x^4 +2x +1\) . Les termes de plus haut degré de \(P\) et \(Q\) ne peuvent s'éliminer et ils ne peuvent  donc être que du second degré au plus. Donc leur forme la plus générale est  \(ax^2+bx +c\).

Si on fait alors un calcul bourrin d'identification, on obtient 5 relations ( non linéaires) entre les coefficients. Si les coefficients sont des réels quelconques, cela parait inextricable pour en tirer quelque chose. Par contre, si le but est de générer des triplets pythagoriciens, le  coefficients des polynômes devraient être, il me semble, entiers. Et dans ce cas, je trouve  que les deux  polynômes que j'indique seraient  les seuls possibles.

Ce qui me gêne dans ce raisonnement rapide, c'est que effectivement  l'indication que les polynômes sont premiers entre eux ne sert à rien non plus   

On peut penser à la relation de Bezout, mais pour l'instant, je ne vois pas trop ce que cela amène.

question subsidiare : pour savoir jusqu'où il faut se creuser la tête, à quel niveau est posé cet exo ? 

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Edité par Sennacherib 3 février 2018 à 14:59:56

Je viens juste rajouter au raisonnement de Sennacherib, que l'hypothèse de primalité entre les deux polynômes est équivalente au fait que les racines de chaque polynôme (qui existent dans C) sont différentes. Il y a donc peut-être intérêt à chercher les polynômes sous formes factorisées.  

Bonsoir, merci de vos réponses. Désolé de ne vous répondre que maintenant, j'ai été beaucoup occupé. Pour info je suis en prépa MPSI.

En effet il fallait déjà faire un travail sur les degrés et on obtient que Max(deg(P), deg(Q)) = 2. À partir de là on écrit P et Q sous la forme ax^2 + bx + c, on développe P^2 + Q^2 dans l'égalité puis on arrive à un système en identifiant les coefficients de mêmes degrés et en raisonnant par disjonction de cas.

On résoud la seconde question juste en montrant que les solutions ne sont pas proportionnelles.

Voilà, je vous remercie de nouveau.

À la prochaine

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Edité par Bluefrost 25 février 2018 à 22:05:52

Bonjour, j'ai un exercice du même style mais j'éprouve des difficultés à conclure que deg P <=2 et deg Q<=2. Je ne saisis pas comment il faut utiliser la propriété "Deg(P+q)<=max(deg(P),deg(Q))"