Bonjour,

Je me posais la question de savoir ce qu'il se passerait si l'on prend une gaussienne centrée réduite comme fonction d'onde initiale et que l'on fait agir l'équation de schrödinger dessus dans le temps avec un potentiel nul (V = 0 partout et pour tout temps). Va-t-elle tendre vers l'aplatissement total ? Si tel est le cas, on n'a plus l'intégrale du module au carré qui vaut 1.

J'ai essayé d'aligner les calculs mais je travaille en 2D, et l'équa diff est beaucoup plus compliquée à résoudre qu'en 1D. Est-ce que quelqu'un aurait une intuition là-dessus ? Ou même une démonstration ?

Merci d'avance.

Rakoto.

la solution de l'équation de Schrödinger avec un potentiel nul partout, basiquement, c'est la solution de la particule libre . Elle se résout par superposition des solutions élémentaires obtenus par séparation de variables en cherchant d'abord  les solutions élémentaires.

Voir le principe rapidement exposé dans les articles ci-après de wiki  

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paquet_d%27onde 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paquet_d%27onde_gaussien

Si le paquet d'ondes est gaussien, il le reste au cours du temps ( propriété de la TF d'une gaussienne, c'est l'intérêt du paquet gaussien même si physiquement, il représente rarement la réalité...il permet des calculs explicites!). Et si, en conditions initiales, on a une gaussienne normée, elle le reste au cours du temps . Fonction du temps, la gaussienne s'aplatit certes , mais elle s'élargit aussi ce qui signifie que la particule a une probabilité de présence de plus en plus faible en tout point,  mais que au cours du temps elle peut être de plus en plus "presque partout". 

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Edité par Sennacherib 13 juillet 2018 à 14:29:23