Bonjour à tous,

Dans ma dernière partie de mon cours (intro aux math financières), je dois calculer l'équation différentielle suivante :

<math>\($S^{\prime}(t)=-4\cdot S(t)-4,\,\, S(0)=2$\)</math>

Si je comprends bien :

<math>\($S^{\prime}(t)$\)</math> signifie la richesse dans le temps
<math>\($S(0)=2$\)</math> signifie que la fonction s'arrêtera à <math>\(t=2\)</math>

Or, ensuite je ne captes pas ce que je dois faire. Dois-je faire une intégrale?

Si oui comment dois-je faire avec le <math>\(S(t)\)</math> ??


Merci à vous

Citation : arif85

Si je comprends bien :

<math>\($S^{\prime}(t)$\)</math> signifie la richesse dans le temps
<math>\($S(0)=2$\)</math> signifie que la fonction s'arrêtera à <math>\(t=2\)</math>

Ce n'est pas ça exactement. Tu as une équation différentielle linéaire du premier ordre (1 seule dérivée) avec des coefficients constants (les termes devant S'(t) et S(t) et le second membre sont constants).
Tu ne peux pas dire que S'(t) représente la richesse dans le temps ; si S est ce que tu appelles la richesse dans le temps, tu peux simplement affirmer que S vérifie l'équation différentielle suivante <math>\(y'(t)=-4y(t)-4\)</math>
<math>\(S(0)=2\)</math> représente une condition initiale : au temps t=0, S vaut 2.

Qu'est-ce que tu dois faire alors ? Tout simplement résoudre l'équation différentielle !

Tu vois avec cette forme de solution qu'il y en a une infinité, C pouvant prendre une infinité de valeurs ! C'est là qu'intervient la condition initiale : une fois que tu as écrit la forme que doit prendre S en suivant ce qui vient d'être dit, tu remplaces t par 0 dans ton expression, et tu sais que le tout vaut 2. Cela te donne une équation sur C facile à résoudre. Tu as donc accès au C, que tu peux désormais remplacer dans l'expression de la solution de ton équation différentielle.

Edit : Pour ce type d'équation différentielle, la solution est si simple qu'on applique généralement directement le résultat. Néanmoins, si tu veux faire toutes les étapes de résolution, il faut faire une intégrale pour chercher la solution de l'équation homogène associée. Si tu veux plus de renseignements dessus, n'hésite pas à demander.

Ok merci beacoup à toi

Dans mon cours j'ai une formule un peu du même style


<math>\(\[ S(t)=(S_{0}-\frac{b}{k})\cdot e^{k\cdot t}+\frac{b}{k}=S_{0}\cdot e^{k\cdot t}+b\cdot(\frac{1-e^{k\cdot t}}{k})\]\)</math>

Merci

Oui, parce que dans ton cours, est intégrée directement la condition initiale <math>\(S(0)=S_0\)</math>