Bonjour, (( je cherche à démontrer par l'analyse la formule (a+b)²=a²+b²+2ab ))

Pour ça j'ai besoin à un moment de résoudre cette équation dont l'inconnue est la fonction f:

f est une fonction à une variable réelle. a et b sont deux réels quelconques.

a²+b.f(b) = b²+a.f(a)  <=> b.f(b)-a.f(a)=b²-a²  (ceci pr ts a,b réels)

Je ne sais pas résoudre une telle équation. J'ai une piste en voyant que l'identité fonctionne. Mais y a-t-il un théorème ou autre chose qui prouve qu'une telle équation admet au plus une solution?

Merci pour vos éventuelles réponses.

Bonjour,

Tu ne peux pas simplement prendre b=0, et donc tu as: a² = a*f(a), pour tout a, et donc pour tout a non nul, tu as necessairement f(a) = a ?

Par contre en 0, ben la fonction peut valoir tout et n'importe quoi

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Edité par dewey70 1 juillet 2018 à 13:32:14

Ah ok, ce résonnement suffit dont à dire que f=id sur les réels non nuls? On a le droit de restreindre à certains nombres, on est pas dans un cas particulier en fixant b? car il se pourrait que sur les b=0 f=id mais qu'en dehors il n'y ait pas de solution?

Bonjour jbsph,

Je ne réponds nullement à ta question, mais j'aimerais comprendre ta démarche et en savoir un peu plus sur ton raisonnement.

Que veux-tu dire par montrer ce résultat avec l'analyse ?

De plus,  de ce que je saisis de ta démarche, tu dois prouver cette égalité sans utiliser, à aucun endroit de ta démonstration, que la multiplication est distributive par rapport à l'addition sur les réels ! En effet, si tu l'utilises quelque part, et bien, tout ce que tu fais ne sers pas à grand chose puisqu'il suffisait de l'utiliser dès le début

Tout ceci pour dire qu'il faut que tu sois très prudent et de ne pas utiliser de résultat ou théorème ou la distributivité est cachée !

jbsph a écrit:

Ah ok, ce résonnement suffit dont à dire que f=id sur les réels non nuls? On a le droit de restreindre à certains nombres, on est pas dans un cas particulier en fixant b? car il se pourrait que sur les b=0 f=id mais qu'en dehors il n'y ait pas de solution?

Tu as dit que l'égalité devait être valide pour tout a et tout b, donc faut d'abord que ça soit valie pour b=0.

En gros ce que je te dis c'est que avec b=0, toute fonction en f(x) = x pour tout x non nul et f(0) = a un reel marche. Donc ça veut dire que les fonctions solutions doivent suivre cette caractéristiques, mais rien ne dit que la fontion cité soit vraiment solution, il faut pour ça vérifier avec les autres a et b. Et par exemple ici, c'esr assez direct que ça fonctionne, tu avais vu toi-même que l'identité marchait.

En général quand tu veux démontrer des trucs pour tout a et tout b, tu prends des cas particuliers: a=0, b=0, a=b, etc, et tu en déduis des "contraintes" (j'ai perdu le mot exact) jusqu'à réduire suffisamment les possibilités et ensuite, tu vérifies que les fonctions restantes sont bien solutions et en général ça se fait très bien.

@sylpro clairement j'ai absolument pas regardé le début, mais effectivement la démo globale semble bien étrange.. 

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Edité par dewey70 1 juillet 2018 à 15:26:54

Ton premier message n'est pas très clair. Une des interprétations, c'est : trouver les fonctions f telles que C  est équivalent à  b.f(b)-a.f(a)=b²-a².

L'autre interprétation, c'est: touver les fonctions f telles que a²+b.f(b) = b²+a.f(a)     (ou encore telles que  b.f(b)-a.f(a)=b²-a²  , ce qui est une autre façon d'écrire la même question).

De ce que je comprends, Sylpro a interprété ta question de la façon 1. Alors que Dewey70 a interprété de la façon 2.  Et personnellement, je pense que la bonne interprétation, c'est l'interprétation 2. Mais tu nous obliges à lire entre les lignes.

si on cherche \(f(x)\) telle que \(a^2+bf(b)=b^2+af(a) \forall a,b \), comme il a été dit  cela doit être vraie pour toute valeur de \(a,b\) donc \(b=0 \Rightarrow a^2=af(a)\), condition nécessaire que doit vérifier \(f\) pour tout \(a \neq 0\).

Si \(a\neq 0 , a=f(a)\) . Si \(a=0\), \(f(0)\) peut prendre n'importe quelle valeur. On peut lever l’indétermination en cherchant \(f\) continue . C'est une hypothèse fréquente dans la résolution des équations fonctionnelles. Alors \(f(0)=0\) et \(f(x)=x\) est la seule solution.
Selon le processus classique de résolution d'une équation fonctionnelle, il faut vérifier que la solution trouvée vérifie l'équation de départ, donc vérifier que  ... \(a^2+b^2=b^2+a^2\)  .  ... ce qui est vraie si la loi + est commutative !

Maintenant, je ne vois pas où te mène cette résolution pour la question initiale pour démontrer par l'analyse l'identité de départ.
Comme sylpro, je ne comprends pas trop ce que cela veut dire .  

Pour aller dans le sens d'une tentative de  résolution en partant d'une équation fonctionnelle , je verrais plutôt  la recherche de  \(f(x)\) vérifiant 

l'équation: \(f^2(x+y)=f^2(x)+f^2(y) +2f(x)f(y), \forall x,y \)

On écrit que l'équation doit être vraie pour \(x=y\) d'où  \(f^2(2x)=f^2(x)+f^2(x) +2f(x)f(x)=4f^2(x)\forall x \).

Ainsi \(f(2x)=2f(x), \forall x\) ou \(f(2x)=-2f(x), \forall x\). Donc, condition nécessaire , les solutions possibles sont  \(f( x)= x , \forall x\) ou \(f( x)=- x , \forall x\)

Et là, c'est le chat qui tourne en rond pour essayer de s'attraper la queue !  Il faut vérifier ( conditions suffisantes)  si  les solutions trouvées vérifient l'équation de départ donc vérifier si \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy\) qui est l'équation que on  cherche  à démontrer autrement que algébriquement.

Comme le faisait remarquer sylpro, on a du mal à échapper à la distributivité pour conclure !  

sinon, on peut faire de la géométrie élémentaire pour établir la relation  ( mais en fait, dans le calcul général  d'une surface, la distributivité est sournoisement cachée dans l'intégrale double )

 ( remarque : outre la distributivité, on utilise implicitement ab=ba. Les réels forment une algèbre commutative) !)

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Edité par Sennacherib 2 juillet 2018 à 10:02:51